熊本大学 2026年度理系数学第3問（理工系）解答・解説

問題

最高次の係数が $1$ である $2$ つの $3$ 次関数 $f (x)$ と $g (x)$ は，次の条件 (i) と (ii) を満たすとする。

(i) $g (2) = 0$

(ii) $k = 2, 3, 4, 5$ に対して， $lim_{x \to k} \frac{f ( x )}{g ( x )} = (k - 2) (k - 3)$

以下の問いに答えよ。

(問1) $f (x)$ と $g (x)$ をそれぞれ求めよ。

(問2) $\int_{4}^{5} \frac{g ( x )}{f ( x )} d x$ を求めよ。

出典：熊本大学 2026年度前期理系第3問

方針

$g (2) = 0$ と $x \to 2$ の極限値0から， $f$ は $x = 2$ を少なくとも2重根に持つ。さらに $x \to 3$ の極限値0から $x = 3$ も $f$ の根になるので，最高次係数1から $f$ を決める。 $g = (x - 2)$ に2次式を掛けた形にして， $x = 4, 5$ の条件で係数を定める。積分は約分後に部分分数分解する。

解答

(問1)

$g (2) = 0$ より， $g (x)$ は $x - 2$ を因数に持つ。また

x \to 2 lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = 0

であるから， $f (x)$ は $x = 2$ を $g (x)$ より高い次数の因数として持つ。さらに

x \to 3 lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = 0

より， $f (x)$ は $x = 3$ も因数に持つ。 $f (x)$ は最高次係数が $1$ の3次関数であるから

f (x) = (x - 2)^{2} (x - 3)

である。

$g (x) = (x - 2) (x^{2} + p x + q)$ とおく。条件 (ii) を $k = 4, 5$ に適用すると

f (4) = 2 g (4), f (5) = 6 g (5)

である。 $f (4) = 4, f (5) = 18$ だから

g (4) = 2, g (5) = 3

である。したがって

2 (16 + 4 p + q) = 2, 3 (25 + 5 p + q) = 3

となり，

16 + 4 p + q = 1, 25 + 5 p + q = 1

を得る。これを解いて $p = - 9, q = 21$ である。よって

g (x) = (x - 2) (x^{2} - 9 x + 21)

である。

(問2)

(問1)より

\frac{g ( x )}{f ( x )} = \frac{x ^{2} - 9 x + 21}{( x - 2 ) ( x - 3 )}

である。部分分数分解すると

\frac{x ^{2} - 9 x + 21}{( x - 2 ) ( x - 3 )} = 1 - \frac{7}{x - 2} + \frac{3}{x - 3}

である。したがって

\int_{4}^{5} \frac{g ( x )}{f ( x )} d x = \int_{4}^{5} (1 - \frac{7}{x - 2} + \frac{3}{x - 3}) d x = 1 - 7 (lo g 3 - lo g 2) + 3 (lo g 2 - lo g 1) = 1 - 7 lo g 3 + 10 lo g 2.

熊本大学 2026年度理系数学 第3問（理工系）

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

熊本大学 2026年度
理系数学第3問（理工系）