熊本大学 2025年度理系数学第3問（理工系）解答・解説

問題

実数 $a > 0$ に対し、座標平面の点の集合 $X_{a}$ を

X_{a} = {(m, n) ∣ m, n は m^{2} a + \frac{n ^{2}}{a} ≦ 25 を満たす正の整数}

で定める。以下の問いに答えよ。

(問1) $X_{1}$ の要素の個数を求めよ。

(問2) 正の整数 $m$ に対し、点 $(m, 1)$ はどのような $a > 0$ に対しても $X_{a}$ に含まれないとする。このような $m$ の最小値を求めよ。

(問3) 座標平面の点の集合 $X$ を

X = {(m, n) ∣ ある a > 0 に対し (m, n) \in X_{a} となる}

で定める。 $X$ の要素の個数を求めよ。

出典：熊本大学 2025年度前期理系第3問

固定した正の整数 $(m, n)$ に対し、 $m^{2} a + n^{2} / a$ の最小値を相加相乗平均で求める。存在条件は $2 mn ≦ 25$ に帰着する。最後は $mn ≦ 12$ を満たす正の整数の組を数える。

$a = 1$ のとき条件は

m^{2} + n^{2} ≦ 25

である。正の整数 $m, n$ について数えると

m 1234 n の個数 4443

であり、 $m ≧ 5$ では存在しない。したがって $X_{1}$ の要素の個数は

4 + 4 + 4 + 3 = 15

である。

点 $(m, 1)$ について考える。相加相乗平均より

m^{2} a + \frac{1}{a} ≧ 2 m

であり、等号は $a = 1/ m$ のとき成り立つ。したがって、ある $a > 0$ で $m^{2} a + 1/ a ≦ 25$ となるための条件は

2 m ≦ 25

である。よってどの $a > 0$ に対しても含まれない最小の正の整数 $m$ は

13

である。

正の整数 $m, n$ を固定すると、相加相乗平均より

m^{2} a + \frac{n ^{2}}{a} ≧ 2 mn

であり、等号は $a = n / m$ のとき成り立つ。したがって $(m, n) \in X$ となる条件は

2 mn ≦ 25

すなわち

mn ≦ 12

である。 $m = 1, 2, \dots, 12$ に対する $n$ の個数は順に

12, 6, 4, 3, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1

である。よって個数は

12 + 6 + 4 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 35

である。