熊本大学 2025年度理系数学第3問（医学部医学科）解答・解説

問題

$x y z$ 空間において, $5$ 点 $A (3, 0, 0),$ $B (0, 3, 0),$ $C (0, - 3, 0),$ $D (3, 0, 3),$ $P (0, 0, 1)$ をとる。点 $P$ を通り $x$ 軸に平行な直線を $l$ とする。四面体 $A B C D$ を $l$ の周りに $1$ 回転させるとき,この四面体が通過する部分の体積 $V$ を求めよ。ただし,四面体は内部も含むものとする。

出典：熊本大学 2025年度前期理系第3問

方針

回転軸に垂直な平面 $x = 一定$ で切り、四面体の断面を $y z$ 平面内の長方形として表す。その長方形を点 $(0, 1)$ の周りに回転したときの面積を、軸点を含むかどうかと最遠点の位置で $x$ の範囲ごとに分ける。最後に断面積を積分する。

解答

$0 ≦ x ≦ 3$ で、四面体を平面 $x = 一定$ で切る。この断面を $y z$ 平面で見ると

- (3 - x) ≦ y ≦ 3 - x, 0 ≦ z ≦ x

で表される長方形である。回転軸 $l$ はこの断面では点 $(y, z) = (0, 1)$ に対応する。

この長方形を点 $(0, 1)$ の周りに回転したときの面積を $A (x)$ とする。 $0 ≦ x ≦ 1$ では軸点が長方形の外にあり、内半径は $1 - x$ 、外半径の平方は $(3 - x)^{2} + 1$ である。したがって

A (x) = π {(3 - x)^{2} + 1 - (1 - x)^{2}} = π (9 - 4 x)

である。

$1 ≦ x ≦ 2$ では軸点が長方形内にあり、外半径の平方は $(3 - x)^{2} + 1$ であるから

A (x) = π {(3 - x)^{2} + 1}

である。

$2 ≦ x ≦ 3$ では軸点が長方形内にあり、外半径の平方は $(3 - x)^{2} + (x - 1)^{2}$ であるから

A (x) = π {(3 - x)^{2} + (x - 1)^{2}}

である。

よって求める体積は

V = \int_{0}^{1} π (9 - 4 x) d x + \int_{1}^{2} π {(3 - x)^{2} + 1} d x + \int_{2}^{3} π {(3 - x)^{2} + (x - 1)^{2}} d x = π (7 + \frac{10}{3} + \frac{8}{3}) = 13 π

である。

熊本大学 2025年度理系数学 第3問（医学部医学科）

問題

方針

解答

熊本大学 2025年度
理系数学第3問（医学部医学科）