熊本大学 2025年度理系数学第1問（医学部医学科）解答・解説

問題

平面上の $4$ 点 $A,$ $B,$ $C,$ $D$ について, $A B = p > 0,$ $A D = q > 0,$ $∠ D A B = θ$ $（ 0 < θ < π ）$ とする。以下の問いに答えよ。(問1)　不等式 $A B^{2} + B C^{2}$ $+ C D^{2} + D A^{2}$ $≧ A C^{2} + B D^{2}$ を証明せよ。(問2)　(問1)で等号が成り立つとき,四角形 $A B C D$ の面積を $p,$ $q,$ $θ$ を用いて表せ。

出典：熊本大学 2025年度前期理系第1問

方針

点 $A$ を原点とし、 $A B = b$ 、 $A D = d$ 、 $A C = c$ とおく。不等式の左辺と右辺の差を展開すると $∣ c - b - d ∣^{2}$ になる。等号条件は $C$ が平行四辺形の第4頂点であることなので、面積は $pq sin θ$ になる。

解答

(問1)

点 $A$ を原点とし、

A B = b, A D = d, A C = c

とおく。このとき

B C = c - b, C D = d - c, B D = d - b

である。よって与えられた不等式の左辺から右辺を引くと

∣ b ∣^{2} + ∣ c - b ∣^{2} + ∣ d - c ∣^{2} + ∣ d ∣^{2} - ∣ c ∣^{2} - ∣ d - b ∣^{2}

であり、これを整理すると

∣ c - b - d ∣^{2}

となる。これは $0$ 以上であるから、求める不等式が成り立つ。

(問2)

(問1)で等号が成り立つのは

c = b + d

のときである。このとき四角形 $A B C D$ は、 $A B$ と $A D$ を隣り合う二辺とする平行四辺形である。したがって面積は

∣ A B ∣ ∣ A D ∣ sin ∠ D A B = pq sin θ

である。

熊本大学 2025年度理系数学 第1問（医学部医学科）

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

熊本大学 2025年度
理系数学第1問（医学部医学科）