熊本大学 2025年度理系数学第2問（医学部医学科）解答・解説

問題

$α$ を $0$ ではない複素数とする。 $z = \frac{6}{2} + \frac{2}{2} i$ とおき, $β = z α,$ $γ = z^{2} α$ とおく。 $0,$ $α,$ $β,$ $γ$ はそれぞれ複素数平面上の点 $O,$ $A,$ $B,$ $C$ を表すとする。ただし, $i$ は虚数単位である。以下の問いに答えよ。(問1)　 $∠ B O C$ を求めよ。(問2)　複素数 $δ$ に対し, $δ$ が表す複素数平面上の点を $D$ とするとき,線分 $B D$ の垂直二等分線は $A,$ $C$ を通るとする。このような $δ$ を $α$ を用いて表せ。(問3)　 $0 < θ < π$ とする。点 $D$ を,点 $C$ を中心に $θ$ だけ回転した点が $B$ であるとする。このとき $sin θ$ を求めよ。

出典：熊本大学 2025年度前期理系第2問

方針

$z$ を絶対値と偏角で読み、 $α$ による回転拡大は図形全体に共通なので $α = 1$ に正規化して計算する。垂直二等分線の条件は、 $D$ が $B$ を直線 $A C$ について反転した点であることを使う。最後は $C$ を中心とする二つのベクトルのなす角の正弦を面積式で求める。

解答

(問1)

z = \frac{6}{2} + \frac{2}{2} i = 2 (cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6})

である。 $β = z α, γ = z^{2} α$ であるから、 $O B$ から $O C$ への偏角の増加は $π /6$ である。したがって

∠ B O C = \frac{π}{6}

である。

(問2)

全体を $α$ で割って考え、最後に $α$ を掛け戻す。すなわち $A = 1$ 、 $B = z$ 、 $C = z^{2}$ としてよい。このとき

z^{2} = 1 + 3 i

であり、直線 $A C$ は実部が $1$ の直線である。線分 $B D$ の垂直二等分線が $A, C$ を通るには、 $D$ は $B$ を直線 $A C$ について対称移動した点である。したがって

D = 2 - \frac{6}{2} + \frac{2}{2} i

である。よって

δ = (2 - \frac{6}{2} + \frac{2}{2} i) α

である。

(問3)

(問2)と同じく $α = 1$ として計算する。

C = 1 + 3 i, B = \frac{6}{2} + \frac{2}{2} i, D = 2 - \frac{6}{2} + \frac{2}{2} i

である。 $C$ から見た二つのベクトルは

C B = (\frac{6}{2} - 1, \frac{2}{2} - 3), C D = (1 - \frac{6}{2}, \frac{2}{2} - 3)

であり、長さは等しい。 $a = \frac{6}{2} - 1$ 、 $b = 3 - \frac{2}{2}$ とおくと

sin θ = \frac{2 ab}{a ^{2} + b ^{2}}

である。これを整理して

sin θ = \frac{3 2 - 3}{6}

を得る。

熊本大学 2025年度理系数学 第2問（医学部医学科）

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2025年度
理系数学第2問（医学部医学科）