熊本大学 2025年度
理系数学 第1問（理工系）

次のように定められた複素数の数列$\left\{z_n\right\}$を考える。$z_1=1,$$z_{n+1}=(1+i)z_n$$+(2+i)\overline{z_n}$$（n=1,2,3,\dots ）$ただし,$i$は虚数単位であり,$\overline{z_n}$は$z_n$と共役な複素数である。以下の問いに答えよ。(問1)　${\alpha }_n=z_n+\overline{z_n}$$（n=1,$$2,$$3,$$\dots ）$とおくとき,数列$\left\{{\alpha }_n\right\}$の一般項を求めよ。(問2)　${\beta }_n=(2-i)z_n-(2+i)\overline{z_n}$$（n=1,$$2,$$3,$$\dots ）$とおくとき,数列$\left\{{\beta }_n\right\}$の一般項を求めよ。(問3)　数列$\left\{z_n\right\}$の一般項を求めよ。