熊本大学 2018年度理系数学第4問（理工系）解答・解説

問題

関数 $f (x) = 3 x^{2} + x^{3} （ x ≧ - 3 ）$ について，以下の問いに答えよ．(問1)　 $f (x)$ の極大値を求めよ．(問2)　 $- 3 ≦ x ≦ 0$ とするとき， $F (x) = \int_{x}^{x + 3} f (t) d t$ の最大値と最小値を求めよ．

出典：熊本大学 2018年度前期理系第4問

方針

$f (x) = ∣ x ∣ x + 3$ として， $[- 3, 0]$ と $[0, \infty)$ で式を分けて極大値を調べる。 $F$ については端点微分で $F^{'} (x) = f (x + 3) - f (x)$ とし，増減から最小点と最大候補の端点を決める。端点値と最小値を置換積分で計算する。

解答

(問1)

f (x) = x^{2} (x + 3) = ∣ x ∣ x + 3

である。 $- 3 < x < 0$ では

f (x) = - x x + 3

であるから

f^{'} (x) = - x + 3 - \frac{x}{2 x + 3} = - \frac{3 ( x + 2 )}{2 x + 3}

である。よって $- 3 < x < - 2$ で増加し， $- 2 < x < 0$ で減少する。したがって極大値は

f (- 2) = 2

である。なお $x > 0$ では $f (x) = x x + 3$ は増加するので，ほかに極大値はない。

(問2)

$- 3 < x < 0$ で

F^{'} (x) = f (x + 3) - f (x)

である。ここで

f (x) = (- x) x + 3, f (x + 3) = (x + 3) x + 6

だから， $F^{'} (x) = 0$ は

(x + 3) x + 6 = (- x) x + 3

と同値であり，これを解くと

x = - 2

である。また

f (x + 3)^{2} - f (x)^{2} = 9 (x + 3) (x + 2)

より， $F (x)$ は $- 3 < x < - 2$ で減少し， $- 2 < x < 0$ で増加する。したがって最小値は $F (- 2)$ ，最大値は $F (- 3)$ と $F (0)$ の大きい方である。

まず

F (- 2) = \int_{- 2}^{1} ∣ t ∣ t + 3 d t = \frac{24 ( 3 - 1 )}{5}

である。また

F (- 3) = \int_{- 3}^{0} (- t) t + 3 d t = \frac{12 3}{5}

であり，

F (0) = \int_{0}^{3} t t + 3 d t = \frac{12 ( 6 + 3 )}{5}

である。よって最大値と最小値はそれぞれ

\frac{12 ( 6 + 3 )}{5}, \frac{24 ( 3 - 1 )}{5}

である。

熊本大学 2018年度理系数学 第4問（理工系）

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

熊本大学 2018年度
理系数学第4問（理工系）