熊本大学 2018年度理系数学第1問（理工系）解答・解説

問題

$t$ を実数とする．空間の $4$ 点 $A (1, 5, 0) ， B (4, 2, 0) ， C (t, 2 t, t - 1) ， D (1, 6, 1)$ について， $∠ B A C$ が直角であるとき，以下の問いに答えよ．(問1)　 $t$ の値を求めよ．(問2)　 $D$ から $A ， B ， C$ を通る平面に垂線を下ろし， $A ， B ， C$ を通る平面との交点を $H$ とする． $H D$ を求めよ．(問3)　四面体 $A B C D$ の体積を求めよ．

出典：熊本大学 2018年度前期理系第1問

方針

$∠ B A C = 9 0^{\circ}$ は $A B \cdot A C = 0$ で決める。 $t$ 決定後，平面 $A B C$ の方程式を求め，点 $D$ から平面への垂線ベクトルを法線方向の定数倍として求める。体積は底面積と高さから求める。

解答

(問1)

A B = (3, - 3, 0), A C = (t - 1, 2 t - 5, t - 1)

である。 $∠ B A C$ が直角であるから

A B \cdot A C = 0

である。よって

3 (t - 1) - 3 (2 t - 5) = 0

より

t = 4

である。

(問2)

$t = 4$ のとき

C = (4, 8, 3)

である。平面 $A B C$ の法線ベクトルとして

n = (1, 1, - 2)

をとれる。したがって平面 $A B C$ の方程式は

x + y - 2 z - 6 = 0

である。点 $D (1, 6, 1)$ を代入すると

1 + 6 - 2 - 6 = - 1

である。 $∣ n ∣^{2} = 6$ より，垂線の足 $H$ について

H D = - \frac{1}{6} (1, 1, - 2) = (- \frac{1}{6}, - \frac{1}{6}, \frac{1}{3})

である。

(問3)

$t = 4$ のとき

A C = (3, 3, 3)

であり，問1の条件より $A B ⊥ A C$ である。したがって底面 $△ A B C$ の面積は

\frac{1}{2} \cdot ∣ A B ∣ \cdot ∣ A C ∣ = \frac{1}{2} \cdot 32 \cdot 33 = \frac{9 6}{2}

である。また点 $D$ から平面 $A B C$ までの距離は

\frac{∣1 + 6 - 2 - 6∣}{1 ^{2} + 1 ^{2} + ( - 2 ) ^{2}} = \frac{1}{6}

である。よって四面体 $A B C D$ の体積は

\frac{1}{3} \cdot \frac{9 6}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{3}{2}

である。

熊本大学 2018年度理系数学 第1問（理工系）

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2018年度
理系数学第1問（理工系）