熊本大学 2018年度理系数学第3問（理工系）解答・解説

問題

$n$ を $2$ 以上の自然数とする．区間 $[0, 1]$ を $n$ 等分して，その両端と分点を順に $0 = x_{0} ， x_{1} ， x_{2} ， \dots ， x_{n - 1} ， x_{n} = 1$ とする．関数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ （ $a > 0, b ≧ 0, c > 0$ ）に対して，区間 $[x_{k - 1}, x_{k}]$ を底辺とし，高さが $f (x_{k})$ である長方形の面積を $L_{k}$ とする．ただし， $k = 1 ， 2 ， \dots ， n$ である．すべての $n$ に対して $L_{1} + L_{n} = \frac{10}{n} + \frac{8}{n ^{3}}$ であるとき，以下の問いに答えよ．(問1)　 $a ， b ， c$ を求めよ．(問2)　 $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} k L_{k}$ を求めよ．(問3)　 $lim_{n \to \infty} \frac{1}{n ^{2}} \sum_{k = 1}^{n} k^{2} L_{k}$ を求めよ．

出典：熊本大学 2018年度前期理系第3問

方針

$x_{k} = k / n$ として $L_{k} = f (k / n) / n$ を書く。 $L_{1} + L_{n}$ を $1/ n, 1/ n^{2}, 1/ n^{3}$ の係数で比較し， $a, b, c$ を決める。後半は $k / n$ を用いて区分求積の形に直して定積分で評価する。

解答

(問1)

$x_{k} = \frac{k}{n}$ であり，長方形の底辺の長さは $\frac{1}{n}$ であるから

L_{k} = \frac{1}{n} f (\frac{k}{n})

である。したがって

L_{1} + L_{n} = \frac{1}{n} {f (\frac{1}{n}) + f (1)}

である。これを展開すると

L_{1} + L_{n} = \frac{a + b + 2 c}{n} + \frac{b}{n ^{2}} + \frac{a}{n ^{3}}

である。これがすべての $n$ について

\frac{10}{n} + \frac{8}{n ^{3}}

に等しいので，係数を比較して

a = 8, b = 0, c = 1

である。

(問2)

(問1)より $f (x) = 8 x^{2} + 1$ である。したがって

\frac{1}{n} k = 1 \sum n k L_{k} = k = 1 \sum n \frac{1}{n} \cdot \frac{k}{n} f (\frac{k}{n})

である。区分求積法により

n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 1 \sum n k L_{k} = \int_{0}^{1} x (8 x^{2} + 1) d x = \frac{5}{2}

である。

(問3)

同様に

\frac{1}{n ^{2}} k = 1 \sum n k^{2} L_{k} = k = 1 \sum n \frac{1}{n} (\frac{k}{n})^{2} f (\frac{k}{n})

である。よって

n \to \infty lim \frac{1}{n ^{2}} k = 1 \sum n k^{2} L_{k} = \int_{0}^{1} x^{2} (8 x^{2} + 1) d x = \frac{8}{5} + \frac{1}{3} = \frac{29}{15}

である。

熊本大学 2018年度理系数学 第3問（理工系）

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2018年度
理系数学第3問（理工系）