熊本大学 2018年度理系数学第2問解答・解説

問題

$m ， n$ を整数とする． $x y$ 平面上の $4$ 点 $(m, n) ， (m - 1, n) ， (m - 1, n - 1) ， (m, n - 1)$ を頂点にもつ正方形を $R_{(m, n)}$ と表す．初めに $1$ 辺の長さが $1$ のさいころが $R_{(1, 1)}$ に $1$ の目を上に置かれている． $1$ 枚の硬貨を投げて表が出たらさいころを $x$ 軸方向に $+ 1$ だけ転がして移し，裏が出たら $y$ 軸方向に $+ 1$ だけ転がして移す．以下の問いに答えよ．ただし，さいころの向かい合う面の目の数の和は $7$ であるとする．(問1)　硬貨を $5$ 回投げたあとにさいころが $R_{(3, 4)}$ の位置にある確率を求めよ．(問2)　硬貨を $2$ 回投げたあとにさいころの $6$ の目が上にあるという条件の下で，硬貨を $5$ 回投げたあとにさいころが $R_{(3, 4)}$ の位置にある条件つき確率を求めよ．(問3)　硬貨を $5$ 回投げたとき，初めから $5$ 回目の移動までにさいころの $6$ 通りの目がすべて上に現れる確率を求めよ．

出典：熊本大学 2018年度前期理系第2問

方針

問1と問2は位置と2回後の上面条件を数える。問3では初期上面を含む6回の上面観察で6種類すべてが出る列を数える。表を $X$ ，裏を $Y$ とし，実際に上面が重複しない5手列を列挙する。

解答

(問1)

$R_{(1, 1)}$ から $R_{(3, 4)}$ へ移るには， $x$ 軸方向に2回， $y$ 軸方向に3回進めばよい。よって求める確率は

\frac{_{5} C _{2}}{2 ^{5}} = \frac{5}{16}

である。

(問2)

2回後に $6$ の目が上にあるのは，最初の2回が同じ方向である場合，すなわち $X X$ または $Y Y$ の場合である。 $X X$ の後に $R_{(3, 4)}$ に着くには残りが $Y Y Y$ の1通りである。 $Y Y$ の後に $R_{(3, 4)}$ に着くには，残り3回のうち $X$ が2回， $Y$ が1回であればよいので3通りである。

条件のもとで残り3回は全部で $2 \cdot 2^{3}$ 通りであるから，求める条件付き確率は

\frac{1 + 3}{2 \cdot 2 ^{3}} = \frac{1}{4}

である。

(問3)

初めの上面は $1$ である。5回の移動後までに6通りの目がすべて上に現れるためには，5回の移動による上面が互いに異なり，かついずれも初めの $1$ と異なればよい。表を $X$ ，裏を $Y$ として上面を追うと，条件を満たす列は

Y Y X Y Y, X Y Y X Y, Y X Y X Y, X Y X X Y, Y X X X Y, X Y Y Y X, Y X Y Y X, X Y X Y X, Y X X Y X, X X Y X X

の10通りである。したがって求める確率は

\frac{10}{2 ^{5}} = \frac{5}{16}

である。

熊本大学 2018年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(問1)

(問2)

(問3)

熊本大学 2018年度
理系数学第2問