問題
1個のさいころを投げる試行を繰り返す。最初の持ち点は1とし，3の目が出たときは持ち点を3倍，5の目が出たときは持ち点を5倍，3と5以外の目が出たときは持ち点を2倍する。たとえば3回試行して出た目が順に6，3，5のとき，持ち点はと変化し，最後の持ち点は30である。次の問いに答えよ。
(1) とする。回試行したとき，最後の持ち点が4の倍数となる確率を求めよ。
(2) 持ち点がはじめて15以上となったときに試行を終了する。終了するまでに試行した回数の期待値を求めよ。
方針
(1)は3と5以外の目が出た回数だけが2の指数を増やすことに注目し、二項分布の余事象で処理する。(2)は15未満で到達しうる持ち点をすべて列挙し、それぞれの状態から終了までの期待回数を置く。大きい持ち点から順に計算すれば、連立方程式をほとんど作らずに求められる。
解答
(1)
3と5以外の目が出る確率は であり、このとき持ち点は2倍される。3または5の目が出る確率は であり、このとき2の指数は増えない。 回の試行のうち、2倍される回数を とする。最後の持ち点が4の倍数となるには、2の指数が2以上であればよいので、 であればよい。よって余事象を用いると、求める確率は である。
したがって
より、
である。
(2)
持ち点が の状態から、終了するまでにさらに必要な試行回数の期待値を とする。15未満で到達しうる持ち点は である。15以上になった時点で終了するので、次の持ち点が15以上なら、その後に必要な回数は0として扱う。
まず からは、どの目が出ても次の持ち点は15以上になる。したがって である。
次に、持ち点が6のとき、2倍の場合だけ12となってまだ終了せず、3倍または5倍では終了する。よって である。同様に、持ち点が5のときは2倍の場合だけ10となるので、 である。
持ち点が4のときは、2倍で8、3倍で12、5倍で20となるから、 である。
持ち点が3のときは、2倍で6、3倍で9、5倍で15となるから、
である。
持ち点が2のときは、2倍で4、3倍で6、5倍で10となるから、 である。これに上で求めた値を代入して を得る。
最後に、初めの持ち点は1である。1からは、2倍で2、3倍で3、5倍で5となるので、 である。したがって
であり、通分すると となる。
よって、終了するまでに試行した回数の期待値は である。