北海道大学 2026年度
理系数学 前期 第3問

解答

(1)

$\alpha =x+yi$ とおく。$\alpha$ は半径1の円 $C$ 上にあるので $x^2+y^2=1$ である。また $\alpha +\overline{\alpha }=2x,\alpha -\overline{\alpha }=2yi$ であるから、条件 $|\alpha +\overline{\alpha }|=|\alpha -\overline{\alpha }|$ は $|2x|=|2yi|$ すなわち $|x|=|y|$ である。

偏角 $\theta$ が $\frac{\pi }{2}<\theta <\pi$ を満たすので、$\alpha$ は第2象限にあり、$x<0,y>0$ である。したがって $|x|=|y|$ より $y=-x$ である。これを $x^2+y^2=1$ に代入すると $2x^2=1$ であり、$x<0$ だから $x=-\frac{1}{\sqrt{2}},y=\frac{1}{\sqrt{2}}$ となる。よって $\alpha =-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i$ である。

(2)

$\beta$ は虚部が正で ${\beta }^3=1$ を満たす1でない3乗根であるから、

である。

条件 $w(z-\beta )=1$ より、$w\ne 0$ であり、$z=\beta +\frac{1}{w}$ である。点 $z$ は $C$ 上にあるから、$\left|\beta +\frac{1}{w}\right|=1$ である。両辺に $|w|$ を掛けると $|\beta w+1|=|w|$ となる。両辺を2乗して $(\beta w+1)(\overline{\beta }\overline{w}+1)=w\overline{w}$ を得る。ここで $|\beta |=1$ であるから、左辺を展開して $w\overline{w}$ を消すと $\beta w+\overline{\beta }\overline{w}+1=0$ となる。 $w=u+vi$ とおく。$\beta =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ であるから、

である。したがって $-u-\sqrt{3}v+1=0$ すなわち $u+\sqrt{3}v=1$ を得る。

よって点 $w$ の描く図形は、$w=u+vi$ としたときの直線 $u+\sqrt{3}v=1$ である。この直線は実軸と $(1,0)$ で交わり、虚軸と $\left(0,\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ で交わる。なお $w=0$ はこの直線上にないので、除く点は生じない。