北海道大学 2026年度理系数学前期第2問解答・解説

問題

関数 $f (x)$ を次によって定める。

f (x) = \int_{0}^{x} {sin (x - t) - \frac{t}{4}}^{2} d t

次の問いに答えよ。

(1) $\int_{0}^{x} t sin (x - t) d t$ を $x$ の式で表せ。

(2) $f (x)$ を求めよ。

(3) $x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x ^{3}}$ を求めよ。

出典：北海道大学 2026年度前期日程第2次学力試験理系前期第2問

方針

被積分関数を展開し、 $sin^{2} (x - t)$ 、 $t sin (x - t)$ 、 $t^{2}$ の3つの積分に分ける。(1)の積分は $u = x - t$ と置いて計算し、(2)にそのまま利用する。(3)では三角関数を基本極限に分解し、近似記法を使わずに $x^{3}$ の係数を求める。

解答

(1)

$u = x - t$ とおくと、 $t = x - u$ である。 $t = 0$ のとき $u = x$ 、 $t = x$ のとき $u = 0$ であるから、

\int_{0}^{x} t sin (x - t) d t = \int_{x}^{0} (x - u) sin u (- d u) = \int_{0}^{x} (x - u) sin u d u

となる。

よって $\int_{0}^{x} (x - u) sin u d u = x \int_{0}^{x} sin u d u - \int_{0}^{x} u sin u d u$ である。ここで $\int_{0}^{x} sin u d u = 1 - cos x$ であり、部分積分により

\int_{0}^{x} u sin u d u = [- u cos u]_{0}^{x} + \int_{0}^{x} cos u d u = - x cos x + sin x

である。したがって $\int_{0}^{x} t sin (x - t) d t = x (1 - cos x) - (- x cos x + sin x) = x - sin x$ である。

(2)

被積分関数を展開すると

{sin (x - t) - \frac{t}{4}}^{2} = sin^{2} (x - t) - \frac{t}{2} sin (x - t) + \frac{t ^{2}}{16}

である。したがって

f (x) = \int_{0}^{x} sin^{2} (x - t) d t - \frac{1}{2} \int_{0}^{x} t sin (x - t) d t + \frac{1}{16} \int_{0}^{x} t^{2} d t

となる。

まず $u = x - t$ とおくと $\int_{0}^{x} sin^{2} (x - t) d t = \int_{0}^{x} sin^{2} u d u$ であり、 $sin^{2} u = \frac{1 - cos 2 u}{2}$ より $\int_{0}^{x} sin^{2} u d u = \frac{x}{2} - \frac{s i n 2 x}{4}$ である。また(1)より $\int_{0}^{x} t sin (x - t) d t = x - sin x$ で、 $\int_{0}^{x} t^{2} d t = \frac{x ^{3}}{3}$ である。

以上を代入して $f (x) = \frac{x}{2} - \frac{s i n 2 x}{4} - \frac{1}{2} (x - sin x) + \frac{x ^{3}}{48}$ となる。よって $f (x) = \frac{s i n x}{2} - \frac{s i n 2 x}{4} + \frac{x ^{3}}{48}$ である。

(3)

(2)の結果を用いる。 $sin 2 x = 2 sin x cos x$ であるから、

\frac{sin x}{2} - \frac{sin 2 x}{4} = \frac{sin x}{2} - \frac{2 sin x cos x}{4} = \frac{sin x}{2} (1 - cos x)

である。したがって

\frac{f ( x )}{x ^{3}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{sin x}{x} \cdot \frac{1 - cos x}{x ^{2}} + \frac{1}{48}

となる。

また $1 - cos x = 2 sin^{2} \frac{x}{2}$ より $\frac{1 - c o s x}{x ^{2}} = \frac{1}{2} (\frac{s i n ( x /2 )}{x /2})^{2}$ であるから、 $lim_{x \to 0} \frac{1 - c o s x}{x ^{2}} = \frac{1}{2}$ である。ゆえに

x \to 0 lim \frac{f ( x )}{x ^{3}} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{48} = \frac{13}{48}

である。

北海道大学 2026年度理系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2026年度
理系数学前期第2問