北海道大学 2026年度理系数学前期第1問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ は次の条件を満たすとする。

a_{1} = - 8, a_{n + 1} (a_{n} + 1) = 2 (n = 1, 2, 3, \dots\dots)

次の問いに答えよ。

(1) $a_{n} \neq = - 2 (n = 1, 2, 3, \dots\dots)$ を示せ。

(2) $b_{n} = \frac{1}{a _{n} + 2}$ とおく。 $b_{n + 1}$ を $b_{n}$ で表せ。

(3) ${a_{n}}$ の一般項を求めよ。

出典：北海道大学 2026年度前期日程第2次学力試験理系前期第1問

方針

まず $a_{n} = - 2$ にならないことを、漸化式を逆向きに読む形の帰納法で確認する。これにより $b_{n} = 1/ (a_{n} + 2)$ がすべての $n$ で定義できる。以後は文系類題と同じく $b_{n}$ の一次漸化式を作り、固定値 $1/3$ との差を等比数列として解く。

解答

(1)

$a_{1} = - 8$ であるから、 $a_{1} \neq = - 2$ である。

ここで、ある $n$ について $a_{n + 1} = - 2$ であったと仮定する。漸化式 $a_{n + 1} (a_{n} + 1) = 2$ に代入すると $- 2 (a_{n} + 1) = 2$ であるから、 $a_{n} = - 2$ となる。

したがって、もし初めて $- 2$ となる項が存在するとすれば、その直前の項も $- 2$ となり、初めてであることに反する。 $a_{1} \neq = - 2$ であるから、数学的帰納法により $a_{n} \neq = - 2 (n = 1, 2, 3, \dots)$ が成り立つ。

(2)

(1)より $a_{n} + 2 \neq = 0$ であるから、 $b_{n}$ は定義できる。漸化式から $a_{n + 1} = \frac{2}{a _{n} + 1}$ であり、

b_{n + 1} = \frac{1}{a _{n + 1} + 2} = \frac{1}{\frac{2}{a _{n} + 1} + 2} = \frac{a _{n} + 1}{2 ( a _{n} + 2 )}

となる。さらに $\frac{a _{n} + 1}{a _{n} + 2} = 1 - \frac{1}{a _{n} + 2} = 1 - b_{n}$ であるから、 $b_{n + 1} = \frac{1}{2} (1 - b_{n})$ である。

(3)

(2)より $b_{n + 1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} b_{n}$ である。この漸化式の固定値は $c = \frac{1}{2} (1 - c)$ を満たすので、 $c = \frac{1}{3}$ である。したがって $b_{n + 1} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{2} (b_{n} - \frac{1}{3})$ である。

初項は $b_{1} = \frac{1}{a _{1} + 2} = \frac{1}{- 6} = - \frac{1}{6}$ であるから、 $b_{1} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{2}$ である。よって

b_{n} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{2} (- \frac{1}{2})^{n - 1} = (- \frac{1}{2})^{n}

となり、 $b_{n} = \frac{1}{3} + (- \frac{1}{2})^{n} = \frac{2 ^{n} + 3 ( - 1 ) ^{n}}{3 \cdot 2 ^{n}}$ を得る。

したがって

a_{n} = \frac{1}{b _{n}} - 2 = \frac{3 \cdot 2 ^{n}}{2 ^{n} + 3 ( - 1 ) ^{n}} - 2 = \frac{2 ^{n} - 6 ( - 1 ) ^{n}}{2 ^{n} + 3 ( - 1 ) ^{n}}

である。

北海道大学 2026年度理系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2026年度
理系数学前期第1問