問題
を原点とする座標空間に2点，をとる。実数はを満たすとし，点をとる。3点を通る平面をとする。さらに，と軸との交点を，と軸との交点をとおく。四面体の体積をとする。次の問いに答えよ。
(1) の座標をを用いて表せ。
(2) をを用いて表せ。
(3) がを満たす実数全体を動くとき，の最小値を求めよ。
出典：北海道大学 2026年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第4問
方針
平面 が3つの座標軸と交わる点を切片としてもち、 が 軸上にあることを利用して切片形で表す。点 を代入して 切片と 切片を で求めれば、四面体の体積は座標軸上の3切片の積から得られる。最後は の一変数関数として微分し、端で最小をとらないことも含めて確認する。
解答
(1)
平面 は 軸上の点 を通る。さらに 軸との交点を 、 軸との交点を とするので、 とおける。このとき平面 は切片形で と表せる。
点 は 上にあるから、 である。したがって となり、 を得る。よって の 座標は である。
(2)
同様に、点 は 上にあるから、 である。よって となり、 である。
四面体 は3つの辺 が互いに座標軸方向にあるので、体積は である。ここで だから はすべて正であり、 である。したがって
である。
(3)
とおく。 において微分すると、 である。分子を整理して を得る。 では 、 であるから、 の符号は の符号で決まる。したがって で 、 で である。
また、 のとき 、 のときも である。よって は で最小となる。その値は である。