北海道大学 2025年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

$n$ を3以上の整数とする。

(1) $k$ を整数とする。 $k < a < b < c ≦ k + n$ を満たす整数 $a, b, c$ の選び方の総数を $n$ の式で表せ。

(2) $1 ≦ a < b < c ≦ 2 n$ を満たす整数 $a, b, c$ のうち， $a + b > c$ となる $a, b, c$ の選び方の総数を $L$ とする。このとき， $L >_{n} C_{3}$ であることを示せ。

出典：北海道大学 2025年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

(1) は $k + 1, k + 2, \dots, k + n$ の $n$ 個から3個を選ぶだけで，順序は $a < b < c$ によって自動的に決まる。(2) は $L$ を正確に数えなくてもよい。まず $n < a < b < c ≦ 2 n$ を満たす三つ組はすべて $a + b > c$ を満たし，その個数は (1) により $_{n} C_{3}$ 個である。さらにこの集合に含まれない具体例 $(2, n, n + 1)$ が条件を満たすことを示せば， $L$ はそれより真に大きい。

解答

(1)

条件 $k < a < b < c ≦ k + n$ を満たす整数は， $k + 1, k + 2, \dots, k + n$ の $n$ 個の整数から異なる3個を選び，小さい順に $a, b, c$ と並べたものにちょうど対応する。したがって選び方の総数は $_{n} C_{3} = \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{6}$ である。

(2)

まず $n < a < b < c ≦ 2 n$ を満たす三つ組 $(a, b, c)$ を考える。このとき $a > n$ ， $b > a > n$ であるから $a + b > 2 n$ である。一方， $c ≦ 2 n$ なので $a + b > 2 n ≧ c$ となり，必ず $a + b > c$ を満たす。

このような三つ組の個数は，整数 $n + 1, n + 2, \dots, 2 n$ の $n$ 個から3個を選ぶ個数である。したがって (1) で $k = n$ とした場合にあたり， $_{n} C_{3}$ 個である。よって，少なくとも $_{n} C_{3}$ 個の三つ組が $a + b > c$ を満たす。

さらに， $n ≧ 3$ であるから $(a, b, c) = (2, n, n + 1)$ は $1 ≦ 2 < n < n + 1 ≦ 2 n$ を満たす。また $a + b = 2 + n > n + 1 = c$ であるから，この三つ組も $a + b > c$ を満たす。一方，この三つ組は $a = 2 ≦ n$ であるため，先ほど数えた $n < a < b < c ≦ 2 n$ を満たす三つ組には含まれていない。

したがって， $a + b > c$ を満たす三つ組は，少なくとも $_{n} C_{3}$ 個に加えて別の1個をもつ。ゆえに $L >_{n} C_{3}$ である。

北海道大学 2025年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2025年度
理系数学前期第5問