北海道大学 2025年度理系数学前期第1問解答・解説

問題

$α, r$ を $α > 1, r > 1$ を満たす実数とする。数列 ${a_{n}}$ を $a_{1} = α$ で公比が $r$ の等比数列とする。数列 ${b_{n}}$ を

b_{n} = lo g_{a_{n}} (a_{n + 1}) (n = 1, 2, 3, \dots\dots)

で定める。

(1) $b_{n}$ を $n$ と $lo g_{α} r$ を用いて表せ。

(2) 等式

b_{n} = \frac{n + 2}{n + 1}

がすべての自然数 $n$ について成り立つための必要十分条件を $r$ と $α$ を用いて表せ。

(3) (2)の条件が成り立つとき，積 $a_{1} a_{2}, a_{1} a_{2} a_{3}, a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}$ の整数部分がそれぞれ2桁，3桁，4桁になるような $α$ の範囲を求めよ。

出典：北海道大学 2025年度前期日程第2次学力試験理系前期第1問

方針

等比数列 $a_{n} = α r^{n - 1}$ を明示し，底を $α$ とする対数で $b_{n}$ を整理する。 $c = lo g_{α} r$ と置けば式が1変数になり，すべての自然数 $n$ で $(1 + n c) / (1 + (n - 1) c) = (n + 2) / (n + 1)$ が成り立つ条件を計算できる。(3) は $r = α$ のもとで $a_{n} = α^{(n + 1) /2}$ とし，積の指数を $k (k + 3) /4$ とまとめる。整数部分の桁数は $1 0^{d - 1} ≦ X < 1 0^{d}$ に直して，3つの範囲の共通部分を取る。

解答

(1)

数列 ${a_{n}}$ は初項 $α$ ，公比 $r$ の等比数列なので $a_{n} = α r^{n - 1}, a_{n + 1} = α r^{n}$ である。ここで $c = lo g_{α} r$ とおく。 $α > 1$ ， $r > 1$ だから $c > 0$ である。底の変換を用いると

b_{n} = lo g_{a_{n}} (a_{n + 1}) = \frac{lo g _{α} ( a _{n + 1} )}{lo g _{α} ( a _{n} )} = \frac{lo g _{α} ( α r ^{n} )}{lo g _{α} ( α r ^{n - 1} )} = \frac{1 + n lo g _{α} r}{1 + ( n - 1 ) lo g _{α} r}

である。したがって $b_{n} = \frac{1 + n lo g _{α} r}{1 + ( n - 1 ) lo g _{α} r}$ である。

(2)

$c = lo g_{α} r$ とおくと，(1)より $b_{n} = \frac{1 + n c}{1 + ( n - 1 ) c}$ である。これがすべての自然数 $n$ について $\frac{n + 2}{n + 1}$ に等しいための条件を求める。 $c > 0$ なので分母は正であり，交差に掛けて $(n + 1) (1 + n c) = (n + 2) {1 + (n - 1) c}$ である。両辺を展開すると $n + 1 + n (n + 1) c = n + 2 + (n + 2) (n - 1) c$ である。ここで $n (n + 1) - (n + 2) (n - 1) = 2$ だから $n + 1 + {(n + 2) (n - 1) + 2} c = n + 2 + (n + 2) (n - 1) c$ より $2 c = 1$ を得る。したがって $c = \frac{1}{2}$ である。逆に $c = 1/2$ なら上の等式がすべての $n$ で成り立つので，これは必要十分条件である。

よって $lo g_{α} r = \frac{1}{2}$ すなわち $r = α$ である。

(3)

(2) の条件のもとでは $r = α$ だから $a_{n} = α r^{n - 1} = α (α)^{n - 1} = α^{(n + 1) /2}$ である。したがって， $k$ 個の積は

a_{1} a_{2} \dots a_{k} = α^{\frac{2}{2}} α^{\frac{3}{2}} \dots α^{\frac{k + 1}{2}} = α^{\frac{1}{2} {2 + 3 + \dots + (k + 1)}} = α^{\frac{k ( k + 3 )}{4}}

である。

整数部分が2桁であることは $10 ≦ a_{1} a_{2} < 100$ と同値である。 $a_{1} a_{2} = α^{5/2}$ なので $10 ≦ α^{5/2} < 100$ より $1 0^{2/5} ≦ α < 1 0^{4/5}$ を得る。

整数部分が3桁であることは $100 ≦ a_{1} a_{2} a_{3} < 1000$ と同値である。 $a_{1} a_{2} a_{3} = α^{9/2}$ なので $100 ≦ α^{9/2} < 1000$ より $1 0^{4/9} ≦ α < 1 0^{2/3}$ を得る。

整数部分が4桁であることは $1000 ≦ a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} < 10000$ と同値である。 $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} = α^{7}$ なので $1000 ≦ α^{7} < 10000$ より $1 0^{3/7} ≦ α < 1 0^{4/7}$ を得る。

これら3つの範囲の共通部分を取る。下端は $max {\frac{2}{5}, \frac{4}{9}, \frac{3}{7}} = \frac{4}{9}$ であり，上端は $min {\frac{4}{5}, \frac{2}{3}, \frac{4}{7}} = \frac{4}{7}$ である。したがって求める範囲は $1 0^{4/9} ≦ α < 1 0^{4/7}$ である。

北海道大学 2025年度理系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2025年度
理系数学前期第1問