北海道大学 2025年度理系数学前期第2問解答・解説

問題

円 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ を考える。実数 $p, q$ が $p^{2} + q^{2} > 1$ を満たすとき，点 $P (p, q)$ から $C_{1}$ に引いた2本の接線 $l_{1}, l_{2}$ の接点をそれぞれ $Q_{1} (x_{1}, y_{1})$ ， $Q_{2} (x_{2}, y_{2})$ とする。また，座標平面上の原点を $O (0, 0)$ とする。

(1) 直線 $l_{1}, l_{2}$ ，線分 $O Q_{1}, O Q_{2}$ で囲まれた四角形の面積 $S$ を $p, q$ を用いて表せ。

(2) 点 $P$ が楕円

C_{2} : \frac{x ^{2}}{2} + \frac{y ^{2}}{3} = 1

の上を動くとき，(1)の四角形の面積 $S$ の最大値と最小値を求めよ。

出典：北海道大学 2025年度前期日程第2次学力試験理系前期第2問

方針

接点 $Q$ では半径 $O Q$ と接線 $P Q$ が垂直であるため， $△ O P Q$ は直角三角形になる。2本の接線について同じ長さの直角三角形ができ，四角形 $O Q_{1} P Q_{2}$ の面積はその2つ分で求められる。したがって $S$ は $O P^{2} = p^{2} + q^{2}$ だけで決まる。(2) は楕円上の点を $(2 cos θ, 3 sin θ)$ と置き， $p^{2} + q^{2}$ の範囲を求めて $S$ の最大・最小に直す。

解答

(1)

点 $P (p, q)$ について $O P = p^{2} + q^{2}$ である。 $p^{2} + q^{2} > 1$ なので，点 $P$ は円 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ の外部にある。

接点を $Q$ とする。円の接線は接点で半径に垂直であるから $O Q ⊥ P Q$ である。また $Q$ は単位円上の点なので $O Q = 1$ である。したがって直角三角形 $O P Q$ において $P Q^{2} = O P^{2} - O Q^{2} = p^{2} + q^{2} - 1$ であり， $P Q = p^{2} + q^{2} - 1$ である。

2つの接線の接点を $Q_{1}, Q_{2}$ とすると， $P Q_{1} = P Q_{2}$ であり，四角形 $O Q_{1} P Q_{2}$ は直角三角形 $O P Q_{1}$ と $O P Q_{2}$ に分けられる。それぞれの面積は $\frac{1}{2} \cdot O Q_{i} \cdot P Q_{i} = \frac{1}{2} p^{2} + q^{2} - 1$ である。よって四角形の面積は $S = 2 \cdot \frac{1}{2} p^{2} + q^{2} - 1 = p^{2} + q^{2} - 1$ である。

(2)

点 $P (p, q)$ が楕円 $\frac{x ^{2}}{2} + \frac{y ^{2}}{3} = 1$ 上を動くので，ある実数 $θ$ を用いて $p = 2 cos θ, q = 3 sin θ$ と表せる。このとき

p^{2} + q^{2} = 2 cos^{2} θ + 3 sin^{2} θ = 2 (1 - sin^{2} θ) + 3 sin^{2} θ = 2 + sin^{2} θ

である。したがって $S = p^{2} + q^{2} - 1 = 1 + sin^{2} θ$ である。 $0 ≦ sin^{2} θ ≦ 1$ だから $1 ≦ S ≦ 2$ である。 $sin^{2} θ = 0$ は $(p, q) = (\pm 2, 0)$ で実現し， $sin^{2} θ = 1$ は $(p, q) = (0, \pm 3)$ で実現する。よって $S_{m i n} = 1, S_{m a x} = 2$ である。

北海道大学 2025年度理系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2025年度
理系数学前期第2問