北海道大学 2025年度
理系数学 前期 第4問

解答

(1)

$z=x+yi$ とおく。このとき $|z-1{|}^2=(x-1{)}^2+y^2$ であり，また $(a-2)z+a=((a-2)x+a)+(a-2)yi$ だから $|(a-2)z+a{|}^2=\{(a-2)x+a{\}}^2+(a-2{)}^2{y}^2$ である。両辺は0以上なので，与えられた方程式は，両辺を2乗して $a^2\{(x-1{)}^2+y^2\}=\{(a-2)x+a{\}}^2+(a-2{)}^2{y}^2$ と同値である。

これを整理する。左辺から右辺を引くと $4(a-1)(x^2+y^2-ax)$ となる。したがって $(a-1)(x^2+y^2-ax)=0$ である。いま $a\ne 1$ なので $x^2+y^2=ax$ である。平方完成すると ${\left(x-\frac{a}{2}\right)}^2+y^2={\left(\frac{a}{2}\right)}^2$ となる。よって求める集合は

である。この円は原点と点 $(a,0)$ を通る。

(2)

まず $a=1$ の場合を調べる。このとき $a|z-1|=|(a-2)z+a|$ は $|z-1|=|-z+1|=|z-1|$ となり，すべての $z$ で成り立つ。さらに $|z{|}^2=6-a=5$ を満たす $z$ は存在する。したがって $a=1$ は条件を満たす。

以下，$a\ne 1$ とする。(1)より第2の方程式は $|z{|}^2=x^2+y^2=ax$ と同値である。一方，第1の方程式は $|z{|}^2=6-a$ である。したがって，解が存在するためにはまず $6-a\geqq 0$ が必要である。また $|z{|}^2=6-a$ と $|z{|}^2=ax$ より $x=\frac{6-a}{a}$ である。

半径 $\sqrt{6-a}$ の円 $x^2+y^2=6-a$ 上に，この $x$ 座標をもつ点が存在するための条件は ${\left(\frac{6-a}{a}\right)}^2\leqq 6-a$ である。よって存在条件は $6-a\geqq 0,{\left(\frac{6-a}{a}\right)}^2\leqq 6-a$ である。 $a>0$ である。$6-a=0$ のとき，すなわち $a=6$ のときは $z=0$ が解となる。$6-a>0$ のときは，不等式を $6-a$ で割って $\frac{6-a}{a^2}\leqq 1$ すなわち $a^2+a-6\geqq 0$ である。これは $(a+3)(a-2)\geqq 0$ であり，$a>0$ より $a\geqq 2$ を得る。$6-a\geqq 0$ と合わせて $2\leqq a\leqq 6$ である。

以上より，求める範囲は $\boxed{a=1,2\leqq a\leqq 6}$ である。

別解。$a\ne 1$ のとき，(1) の集合は中心 $(a/2,0)$，半径 $a/2$ の円である。もう一方の式 $|z{|}^2=6-a$ は，中心が原点で半径 $\sqrt{6-a}$ の円である。2円が交わる条件を用いてもよい。中心間距離は $a/2$ で，(1) の円の半径も $a/2$ だから，交点が存在する条件は $\sqrt{6-a}\leqq a$ かつ $6-a\geqq 0$ である。これは $6-a\leqq a^2,a\leqq 6$ と同値で，$a>0$ より $2\leqq a\leqq 6$ を得る。これに特別な場合 $a=1$ を加えて同じ答えになる。