北海道大学 2020年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

$a$ を正の定数とする。微分可能な関数 $f (x)$ はすべての実数 $x$ に対して次の条件を満たしているとする。

0 < f (x) < 1, \int_{0}^{x} \frac{f ^{'} ( t )}{{ 1 - f ( t )} f ( t )} d t = a x

さらに， $f (0) = \frac{1}{3}$ であるとする。

(1) $f (x)$ を求めよ。

(2) 曲線 $y = f (x)$ と $x$ 軸および2直線 $x = 0$ ， $x = 1$ で囲まれる図形の面積 $S (a)$ を求めよ。さらに， $a \to + 0 lim S (a)$ を求めよ。

出典：北海道大学 2020年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

被積分関数は $lo g \frac{f ( t )}{1 - f ( t )}$ の導関数なので、積分方程式を対数の差に直す。初期値 $f (0) = 1/3$ から定数を決め、 $\frac{f ( x )}{1 - f ( x )} = \frac{1}{2} e^{a x}$ を解いて $f (x)$ を得る。(2)は $S (a) = \int_{0}^{1} f (x) d x$ を指数置換で計算し、 $a \to + 0$ の極限は $lo g (e^{a} + 2)$ の $a = 0$ における微分係数として評価する。

解答

(1)

$0 < f (x) < 1$ なので、 $lo g \frac{f ( x )}{1 - f ( x )}$ を考えることができる。微分すると

\frac{d}{d x} lo g \frac{f ( x )}{1 - f ( x )} = \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )} + \frac{f ^{'} ( x )}{1 - f ( x )} = \frac{f ^{'} ( x )}{{ 1 - f ( x )} f ( x )}

である。

したがって与えられた等式は $lo g \frac{f ( x )}{1 - f ( x )} - lo g \frac{f ( 0 )}{1 - f ( 0 )} = a x$ と同値である。ここで $f (0) = \frac{1}{3}$ より $\frac{f ( 0 )}{1 - f ( 0 )} = \frac{1/3}{2/3} = \frac{1}{2}$ である。よって $lo g \frac{f ( x )}{1 - f ( x )} - lo g \frac{1}{2} = a x$ であり、指数を取って $\frac{f ( x )}{1 - f ( x )} = \frac{1}{2} e^{a x}$ を得る。

これを $f (x)$ について解くと $2 f (x) = e^{a x} {1 - f (x)}$ だから $(e^{a x} + 2) f (x) = e^{a x}$ である。したがって $f (x) = \frac{e ^{a x}}{e ^{a x} + 2}$ である。

(2)

求める面積は $S (a) = \int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} \frac{e ^{a x}}{e ^{a x} + 2} d x$ である。ここで $\frac{d}{d x} lo g (e^{a x} + 2) = \frac{a e ^{a x}}{e ^{a x} + 2}$ だから $\int \frac{e ^{a x}}{e ^{a x} + 2} d x = \frac{1}{a} lo g (e^{a x} + 2)$ である。よって

S (a) = \frac{1}{a} [lo g (e^{a x} + 2)]_{0}^{1} = \frac{1}{a} lo g \frac{e ^{a} + 2}{3}

である。

次に極限を求める。 $S (a) = \frac{l o g ( e ^{a} + 2 ) - l o g 3}{a}$ であるから、これは関数 $G (a) = lo g (e^{a} + 2)$ の $a = 0$ における微分係数である。実際 $G^{'} (a) = \frac{e ^{a}}{e ^{a} + 2}$ なので $lim_{a \to + 0} S (a) = G^{'} (0) = \frac{1}{3}$ である。

北海道大学 2020年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2020年度
理系数学前期第5問