北海道大学 2020年度
理系数学 前期 第4問

解答

(1)

$h(x)=\sin \frac{\pi x}{2}-x$ とおく。$0<x<1$ において $h^{\prime \prime }(x)=-\frac{{\pi }^2}{4}\sin \frac{\pi x}{2}<0$ である。また $h(0)=0,h(1)=0$ である。したがって、$h(x)$ のグラフは区間 $[0,1]$ で上に凸ではなく下にふくらみ、両端で0をとるので $h(x)>0(0<x<1)$ である。すなわち $\sin \frac{\pi x}{2}>x(0<x<1)$ が成り立つ。 $0<a_n<1$ と仮定すると、$0<\frac{\pi a_n}{2}<\frac{\pi }{2}$ だから $0<a_{n+1}=\sin \frac{\pi a_n}{2}<1$ であり、さらに上の不等式から $a_{n+1}=\sin \frac{\pi a_n}{2}>a_n$ である。$a_1=\alpha$ は $0<\alpha <1$ をみたすので、数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ について $0<a_n<1,a_{n+1}>a_n$ が成り立つ。

(2)

$\varphi (x)=\frac{1-\sin (\pi x/2)}{1-x}(0<x<1)$ とおくと $b_n=\varphi (a_n)$ である。ここで $y=1-x$ とおくと

であるから $\varphi (x)=\frac{1-\cos (\pi y/2)}{y}$ である。 $\psi (y)=\frac{1-\cos (\pi y/2)}{y}(0<y<1)$ とおく。$u=\frac{\pi y}{2}$ とすると、$0<u<\frac{\pi }{2}$ であり、${\psi }^{\prime }(y)$ の符号は $u\sin u-(1-\cos u)$ の符号と同じである。そこで $G(u)=u\sin u+\cos u-1$ とおくと $G^{\prime }(u)=u\cos u>0(0<u<\frac{\pi }{2})$ であり、$G(0)=0$ であるから $G(u)>0$ である。したがって ${\psi }^{\prime }(y)>0$ であり、$\psi (y)$ は $y$ について増加する。

一方 $y=1-x$ なので、$x$ が増加すると $y$ は減少する。よって $\varphi (x)$ は $x$ について減少する。(1)より $a_{n+1}>a_n$ であるから $b_{n+1}=\varphi (a_{n+1})<\varphi (a_n)=b_n$ である。

(3)

(1)より $\{a_n\}$ は単調増加であり、しかも $a_n<1$ で上に有界である。したがって極限 ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=L$ が存在し、$0<L\leqq 1$ である。漸化式の両辺の極限を取ると $L=\sin \frac{\pi L}{2}$ である。

もし $0<L<1$ なら、(1)で示した不等式から $\sin \frac{\pi L}{2}>L$ となり矛盾する。したがって $L=1$ である。

次に $b_n=\frac{1-\sin (\pi a_n/2)}{1-a_n}$ である。$y_n=1-a_n$ とおくと、$a_n\to 1$ より $y_n\to 0+$ であり、$b_n=\frac{1-\cos (\pi y_n/2)}{y_n}$ である。$0<z<\frac{\pi }{2}$ では $0\leqq 1-\cos z\leqq \frac{z^2}{2}$ が成り立つので、$z=\frac{\pi y_n}{2}$ として

である。右辺は0に近づくから、はさみうちにより ${\lim }_{n\to \infty }{b}_n=0$ である。以上より ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=1,{\lim }_{n\to \infty }{b}_n=0$ である。