北海道大学 2020年度
理系数学 前期 第1問

解答

(1)

$\overrightarrow{AB}=\vec{u},\overrightarrow{AC}=\vec{v}$ とおく。条件より

である。したがって $|\vec{v}-\vec{u}{|}^2=|\vec{v}{|}^2+|\vec{u}{|}^2-2\vec{u}\cdot \vec{v}$ より $6=4+1-2\vec{u}\cdot \vec{v}$ である。よって $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=\vec{u}\cdot \vec{v}=-\frac{1}{2}$ である。

(2)

点 $O$ は外接円の中心で、直線 $AO$ と外接円とのもう1つの交点が $P$ である。したがって $AP$ は外接円の直径である。よって円周角の性質から $\angle ABP=90^{\circ },\angle ACP=90^{\circ }$ である。 $\overrightarrow{AP}=s\vec{u}+t\vec{v}$ とおく。まず

であり、$\vec{u}\cdot \overrightarrow{BP}=0$ だから $(s-1)|\vec{u}{|}^2+t\vec{u}\cdot \vec{v}=0$ すなわち $s-1-\frac{1}{2}t=0$ である。したがって $s-\frac{1}{2}t=1$ を得る。

同様に

であり、$\vec{v}\cdot \overrightarrow{CP}=0$ だから $s\vec{u}\cdot \vec{v}+(t-1)|\vec{v}{|}^2=0$ である。よって $-\frac{1}{2}s+4t=4$ を得る。

連立方程式 $s-\frac{1}{2}t=1,-\frac{1}{2}s+4t=4$ を解くと $s=\frac{8}{5},t=\frac{6}{5}$ である。

(3)

点 $D$ は直線 $AP$ 上にあるので、ある実数 $\lambda$ を用いて

と書ける。

一方、点 $D$ は直線 $BC$ 上にあるので、ある実数 $\mu$ を用いて

と書ける。$\vec{u},\vec{v}$ は一次独立なので係数を比較して $\frac{8}{5}\lambda =1-\mu ,\frac{6}{5}\lambda =\mu$ である。2式を加えると $\frac{14}{5}\lambda =1$ となるから $\lambda =\frac{5}{14}$ である。

次に $AP$ の長さを求める。$\overrightarrow{AP}=\frac{8}{5}\vec{u}+\frac{6}{5}\vec{v}$ だから

である。したがって $AD=\lambda AP=\frac{5}{14}\sqrt{\frac{32}{5}}=\frac{2\sqrt{10}}{7}$ である。