北海道大学 2020年度
理系数学 前期 第3問

解答

(1)

最大公約数が3となるには、すべての出目が3の倍数である必要がある。さいころの目で3の倍数は $3,6$ である。ただし、すべての出目が6なら最大公約数は6になるので除く必要がある。

したがって条件をみたす出方は $2^n-1$ 通りである。全体は $6^n$ 通りだから、求める確率は $\frac{2^n-1}{6^n}$ である。

(2)

最大公約数が1でない場合を余事象として数える。共通の素因数は2,3,5のいずれかである。

すべての出目が2の倍数である出方は、各回が $2,4,6$ の3通りなので $3^n$ 通りである。すべての出目が3の倍数である出方は、各回が $3,6$ の2通りなので $2^n$ 通りである。すべての出目が5の倍数である出方は、すべて5の1通りである。

2の倍数と3の倍数の重なりは、すべて6である1通りである。5は2や3の倍数と重ならないので、最大公約数が1でない出方は $3^n+2^n+1-1=3^n+2^n$ 通りである。よって最大公約数が1となる確率は $\frac{6^n-3^n-2^n}{6^n}$ である。

(3)

最小公倍数が20となるには、まずすべての出目が20の約数でなければならない。さいころの目の中で20の約数であるものは $1,2,4,5$ である。

さらに、最小公倍数が20になるには、素因数分解 $20=2^2\cdot 5$ の $2^2$ と $5$ が両方現れる必要がある。上の4種類の出目の中で $2^2$ を含むのは4だけであり、5を含むのは5だけである。したがって、4が少なくとも1回、5が少なくとも1回出ることが必要十分である。

出目を $1,2,4,5$ に限ると全体は $4^n$ 通りである。このうち4が出ないものは $3^n$ 通り、5が出ないものも $3^n$ 通りである。4も5も出ないものは $1,2$ だけなので $2^n$ 通りである。包除により条件をみたす出方は $4^n-2\cdot 3^n+2^n$ 通りである。

したがって求める確率は $\frac{4^n-2\cdot 3^n+2^n}{6^n}$ である。