問題
座標平面上の2点，を通る直線を考える。
(1) 上にある格子点の座標をすべて求めよ。ただし，格子点とはその点の座標と座標がともに整数であるような点のことである。
(2) 上の格子点のうち，原点との距離が最小となる点をとする。また，上の以外の格子点のうち，原点との距離が最小となる点をとする。さらに，の座標との座標をそれぞれ座標と座標とする点をとする。三角形の内部および周上にある格子点の個数を求めよ。
方針
(1)は直線をと直し、一次不定方程式の整数解を求める。(2)では一般解を距離の2乗に代入し、整数mで最小・次小となる点A,Bを決める。三角形ABCは斜辺ABが元の直線、BCが水平、ACが垂直な直角三角形になるので、格子点はx座標ごとに下端の整数を切り上げて数える。別解として、A,B,Cが格子点であることからPickの定理で内部点と境界点を分けて総数を求めることもできる。
解答
(1)
2点 , を通る直線は、切片の形で と表せる。したがって である。
格子点を求めるには、この一次不定方程式の整数解を求めればよい。9を法として見ると であり、 だから である。 より である。よって と書ける。これを に代入すると である。したがって求める格子点は である。
(2)
(1)の格子点と原点との距離の2乗は である。展開すると である。この二次式の軸は であり、 にある。したがって整数 で最小となる候補は と である。
実際に値を比べると であるから、最小となる点は である。また次に小さいのは の点で、 である。したがって問題文の定義より である。
三角形 は、 が水平、 が垂直である。斜辺 はもとの直線 上にあるので、三角形内および周上の点は をみたす。
整数 を と動かして数える。各 に対して、整数 の個数は である。順に書くと である。したがって求める格子点の個数は である。
別解。最後の数え上げはPickの定理でも確認できる。三角形 は底辺 、高さ の直角三角形なので面積は である。境界上の格子点数は、 では 個、 では10個、 では17個であり、頂点の重複を引くと 個である。Pickの定理より内部の格子点数は であるから、内部および周上の格子点数は である。