北海道大学 2015年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

$n$ は自然数， $a$ は $a > \frac{3}{2}$ をみたす実数とし，実数 $x$ の関数

f (x) = \int_{0}^{x} (x - θ) (a sin^{n + 1} θ - sin^{n - 1} θ) d θ

を考える。ただし， $n = 1$ のときは $sin^{n - 1} θ = 1$ とする。

(1) $\int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{n + 1} θ d θ = \frac{n}{n + 1} \int_{0}^{\frac{π}{2}} sin^{n - 1} θ d θ$ を示せ。

(2) $f^{'} (\frac{π}{2}) = 0$ をみたす $n$ と $a$ の値を求めよ。

(3) (2)で求めた $n$ と $a$ に対して， $f (\frac{π}{2})$ を求めよ。

出典：北海道大学 2015年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

(1)は $I_{m} = \int_{0}^{π /2} sin^{m} θ d θ$ とおき、 $I_{n + 1}$ を部分積分して $I_{n - 1}$ と結ぶ。(2)では $f (x) = \int_{0}^{x} (x - θ) h (θ) d θ$ の形から $f^{'} (x) = \int_{0}^{x} h (θ) d θ$ を使い、(1)の漸化式で $a = (n + 1) / n$ を得る。 $a > 3/2$ から $n = 1, a = 2$ に絞り、(3)は $2 sin^{2} θ - 1 = - cos 2 θ$ を直接積分する。

解答

(1)

$I_{m} = \int_{0}^{π /2} sin^{m} θ d θ$ とおく。 $I_{n + 1}$ について $I_{n + 1} = \int_{0}^{π /2} sin^{n} θ sin θ d θ$ である。 $sin θ d θ = - d (cos θ)$ と見て部分積分すると、端では $cos θ = 0$ または $sin θ = 0$ となるので境界項は0であり、 $I_{n + 1} = n \int_{0}^{π /2} sin^{n - 1} θ cos^{2} θ d θ$ である。ここで $cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ$ より

I_{n + 1} = n \int_{0}^{π /2} sin^{n - 1} θ d θ - n \int_{0}^{π /2} sin^{n + 1} θ d θ

となる。したがって $I_{n + 1} = n I_{n - 1} - n I_{n + 1}$ であり、 $I_{n + 1} = \frac{n}{n + 1} I_{n - 1}$ が成り立つ。

(2)

$h (θ) = a sin^{n + 1} θ - sin^{n - 1} θ$ とおくと、 $f (x) = \int_{0}^{x} (x - θ) h (θ) d θ$ である。上端の項は $(x - x) h (x) = 0$ なので $f^{'} (x) = \int_{0}^{x} h (θ) d θ$ である。したがって $f^{'} (\frac{π}{2}) = a I_{n + 1} - I_{n - 1}$ である。これが0である条件は $a I_{n + 1} = I_{n - 1}$ であり、(1)を用いると $a \cdot \frac{n}{n + 1} I_{n - 1} = I_{n - 1}$ となる。 $I_{n - 1} > 0$ だから $a = \frac{n + 1}{n} = 1 + \frac{1}{n}$ である。条件 $a > 3/2$ より $1 + \frac{1}{n} > \frac{3}{2}$ すなわち $n < 2$ である。 $n$ は自然数なので $n = 1, a = 2$ である。

(3)

$n = 1, a = 2$ のとき

f (\frac{π}{2}) = \int_{0}^{π /2} (\frac{π}{2} - θ) (2 sin^{2} θ - 1) d θ

である。 $2 sin^{2} θ - 1 = - cos 2 θ$ より

f (\frac{π}{2}) = - \int_{0}^{π /2} (\frac{π}{2} - θ) cos 2 θ d θ

である。部分積分で

\int (\frac{π}{2} - θ) cos 2 θ d θ = (\frac{π}{2} - θ) \frac{sin 2 θ}{2} - \frac{cos 2 θ}{4}

だから

\int_{0}^{π /2} (\frac{π}{2} - θ) cos 2 θ d θ = [- \frac{cos 2 θ}{4}]_{0}^{π /2} = \frac{1}{2}

である。したがって $f (\frac{π}{2}) = - \frac{1}{2}$ である。

別解。(3)では $f^{''} (x) = 2 sin^{2} x - 1 = - cos 2 x$ と見てもよい。 $f (0) = f^{'} (0) = 0$ であるから、 $f^{'} (x) = - \frac{1}{2} sin 2 x$ ， $f (x) = \frac{1}{4} cos 2 x - \frac{1}{4}$ となり、 $x = π /2$ を代入して $- 1/2$ を得る。

北海道大学 2015年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2015年度
理系数学前期第5問