問題
空間の3点，，の定める平面をとし，，とおく。上の点があり，その座標が正であるとする。ベクトルがに垂直で，大きさが1であるとする。とおく。
(1) の座標を求めよ。
(2) をみたす実数，を求めよ。
(3) 上にない点からに垂線を下ろし，との交点をとする。をみたす実数，を，，で表せ。
出典：北海道大学 2015年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第3問
方針
まず を通る平面を求める。 はともに を満たし、原点も通るので平面は である。 は と置き、 と 、さらに から一意に決める。(3)では点 の平面 への垂線の足を先に求め、 の係数比較で を出す。
解答
点 はいずれも を満たす。また と は一直線上でないので、これらを通る平面 は である。
(1)
は 上にあるから とおける。 座標は正である。 が に垂直なので であり、 である。また より だから である。 より を得る。したがって
である。
(2)
である。 とおくと、成分比較により である。2式を引くと なので である。これを に代入して より である。したがって である。
(3)
平面 は であり、その法線方向は である。点 からこの平面へ下ろした垂線の足は、 の平均をとって である。
とおくと
である。したがって を得る。2式を引くと なので である。これを第2式に戻すと
である。よって である。