北海道大学 2015年度理系数学前期第2問解答・解説

問題

$p$ ， $q$ は正の実数とし， $a_{1} = 0$ ， $a_{n + 1} = p a_{n} + (- q)^{n + 1}$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ によって定まる数列 ${a_{n}}$ がある。

(1) $b_{n} = \frac{a _{n}}{p ^{n}}$ とする。数列 ${b_{n}}$ の一般項を $p$ ， $q$ ， $n$ で表せ。

(2) $q = 1$ とする。すべての自然数 $n$ について $a_{n + 1} ≧ a_{n}$ となるような $p$ の値の範囲を求めよ。

出典：北海道大学 2015年度前期日程第2次学力試験理系前期第2問

方針

$b_{n} = a_{n} / p^{n}$ によって $p$ 倍の項を消し、等比数列の和として一般項を求める。(2)では $q = 1$ の明示式から $a_{n + 1} - a_{n}$ を作り、 $n$ の偶奇で符号条件を分ける。奇数 $n$ では自動的に非負、偶数 $n$ では $p > 1$ が必要で、最も厳しい $n = 2$ の条件に帰着することを示す。

解答

(1)

定義より

b_{n + 1} = \frac{a _{n + 1}}{p ^{n + 1}} = \frac{p a _{n} + ( - q ) ^{n + 1}}{p ^{n + 1}} = b_{n} + (- \frac{q}{p})^{n + 1}

である。また $b_{1} = a_{1} / p = 0$ だから $b_{n} = \sum_{k = 2}^{n} (- \frac{q}{p})^{k}$ である。 $p, q > 0$ より $p + q \neq = 0$ であり、等比数列の和を用いて

b_{n} = \frac{q ^{2}}{p ^{2}} \cdot \frac{1 - ( - q / p ) ^{n - 1}}{1 + q / p} = \frac{q ^{2}}{p ( p + q )} (1 - \frac{( - q ) ^{n - 1}}{p ^{n - 1}}) = \frac{q ^{2} { p ^{n - 1} - ( - q ) ^{n - 1} }}{p ^{n} ( p + q )}

となる。したがって $a_{n} = p^{n} b_{n} = \frac{q ^{2} { p ^{n - 1} - ( - q ) ^{n - 1} }}{p + q}$ である。

(2)

$q = 1$ のとき、(1)より $a_{n} = \frac{p ^{n - 1} - ( - 1 ) ^{n - 1}}{p + 1}$ である。したがって $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{p ^{n} - ( - 1 ) ^{n} - p ^{n - 1} + ( - 1 ) ^{n - 1}}{p + 1}$ であり、整理して $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{p ^{n - 1} ( p - 1 ) + 2 ( - 1 ) ^{n - 1}}{p + 1}$ を得る。分母 $p + 1$ は正である。

$n$ が奇数のとき、分子は $p^{n - 1} (p - 1) + 2$ である。 $p ≧ 1$ なら明らかに正であり、 $0 < p < 1$ でも $0 < p^{n - 1} (1 - p) < 1$ なので $p^{n - 1} (p - 1) + 2 > 1$ である。よって奇数 $n$ の条件は常に満たされる。

$n$ が偶数のとき、分子は $p^{n - 1} (p - 1) - 2$ である。これがすべての偶数 $n$ で非負となるには、まず $p > 1$ が必要である。 $p > 1$ のもとでは、偶数 $n = 2, 4, 6, \dots$ に対して $p^{n - 1}$ は増加するので、最も厳しいのは $n = 2$ である。したがって $p (p - 1) - 2 ≧ 0$ が必要十分である。これは $(p - 2) (p + 1) ≧ 0$ であり、 $p > 0$ より $p ≧ 2$ である。

北海道大学 2015年度理系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2015年度
理系数学前期第2問