問題
初めに赤玉2個と白玉2個が入った袋がある。その袋に対して以下の試行を繰り返す。
(i) まず同時に2個の玉を取り出す。
(ii) その2個の玉が同色であればそのまま袋に戻し，色違いであれば赤玉2個を袋に入れる。
(iii) 最後に白玉1個を袋に追加してかき混ぜ，1回の試行を終える。回目の試行が終わった時点での袋の中の赤玉の個数をとする。
(1) となる確率を求めよ。
(2) となる確率を求めよ。
(3) であったとき，である条件付き確率を求めよ。
方針
袋の状態を赤玉数・白玉数の組で追う。1回の試行では、同色を引くと赤玉数は変わらず白玉だけが1個増え、色違いを引くと赤玉数が1個増えて最後に白玉も1個追加される。まず1回目後の2状態を確率つきで分け、2回目に となる条件をそれぞれ計算する。条件付き確率は で求める。
解答
同色の2個を引いたときは、その2個を戻してから白玉1個を追加するので、赤玉数は変わらない。色違いの2個を引いたときは、取り出した2個の代わりに赤玉2個を入れ、最後に白玉1個を追加するので、赤玉数は1個増える。
(1)
初めは赤2個、白2個である。 となるのは、1回目に色違いの2個を引くときである。その確率は である。したがって である。
(2)
1回目後の状態を分ける。同色を引く確率は
であり、このとき状態は赤2個、白3個である。色違いを引く確率は であり、このとき状態は赤3個、白2個である。
状態が赤2個、白3個のとき、2回目後に赤が3個となるには色違いを引けばよい。その確率は である。
状態が赤3個、白2個のとき、2回目後も赤が3個であるには同色を引けばよい。その確率は
である。したがって全確率より
である。
(3)
かつ となるのは、1回目に色違いを引き、2回目は赤3個・白2個の状態から同色を引く場合である。よって である。したがって
である。
別解。状態を で書くと、1回目後は が確率 、 が確率 である。この2状態から へ向かう確率を枝に書くと、それぞれ ， であり、条件付き確率は後者の枝の重み を全体 で割るだけで求められる。