北海道大学 2015年度
理系数学 前期 第1問

解答

(1)

$C_1:y=(x-1)e^x$ の導関数は $y^{\prime }=e^x+(x-1)e^x=x{e}^x$ である。したがって $x=t$ における接線の傾きは $t{e}^t$ であり、接線は $y-(t-1)e^t=t{e}^t(x-t)$ である。切片は $(t-1)e^t-t^2{e}^t=(t-1-t^2)e^t$ である。

一方、$C_2:y=\frac{1}{2e}{x}^2+a$ の $x=u$ における接線の傾きは $u/e$ である。傾きが等しいので $\frac{u}{e}=t{e}^t,u=t{e}^{t+1}$ である。この接線の切片は、接点の座標を用いて $\left(\frac{u^2}{2e}+a\right)-\frac{u}{e}u=a-\frac{u^2}{2e}$ である。2つの接線が一致するため、切片を等しくすると $a-\frac{t^2{e}^{2t+2}}{2e}=(t-1-t^2)e^t$ である。よって $\boxed{a=e^t\left(\frac{1}{2}{t}^2{e}^{t+1}-t^2+t-1\right)}$ である。

(2)

(1)の右辺を $A(t)=e^t\left(\frac{1}{2}{t}^2{e}^{t+1}-t^2+t-1\right)$ とおく。微分すると $A^{\prime }(t)=t(t+1)(e^{t+1}-1)e^t$ である。ここで $e^t>0$ であり、$e^{t+1}-1$ は $t+1$ と同じ符号をもつ。したがって $A^{\prime }(t)$ の符号は、$t=-1$ では0になるがその前後で変わらず、全体として $t<0\text{ で }{A}^{\prime }(t)\leqq 0,t>0\text{ で }{A}^{\prime }(t)>0$ である。より詳しくは、$t<0$ では $t=-1$ を除いて $A^{\prime }(t)<0$、$t>0$ では $A^{\prime }(t)>0$ である。

したがって $A(t)$ は $t=0$ まで減少し、その後増加する。極小値は $t=0$ のときに生じ、$A(0)=e^0(0-0+0-1)=-1$ である。よって $\boxed{t=0,a_{\min }=-1}$ である。

別解。(1)では、$C_1$ の接線と $C_2$ の交点方程式が重解をもつと考えてもよい。接線 $y=t{e}^{t}x+(t-1-t^2)e^t$ を $C_2$ に代入して得る2次方程式の判別式を0にすると、同じ $a=e^t\left(\frac{1}{2}{t}^2{e}^{t+1}-t^2+t-1\right)$ が得られる。