北海道大学 2013年度
理系数学 前期 第5問

解答

(1) 定義より $F\left(\frac{x}{2}\right)={\int }_0^{x}tf(x-t)dt$ である。ここで $s=x-t$ とおくと、$t=0$ のとき $s=x$、$t=x$ のとき $s=0$ であり、$dt=-ds$ だから

である。

(2) $H(x)=F(x/2)$ とおく。(1)より $H(x)={\int }_0^x(x-s)f(s)ds=x{\int }_0^{x}f(s)ds-{\int }_0^{x}sf(s)ds$ である。微分すると $H^{\prime }(x)={\int }_0^{x}f(s)ds$ であり、さらに $H^{\prime \prime }(x)=f(x)$ である。

一方、$H(x)=F(x/2)$ だから、合成関数の微分により $H^{\prime \prime }(x)=\frac{1}{4}{F}^{\prime \prime }\left(\frac{x}{2}\right)$ である。したがって $f(x)=\frac{1}{4}{F}^{\prime \prime }\left(\frac{x}{2}\right)$ を得る。

(3) $F(x)$ は3次式である。定義から $F(0)=0$ である。また $H^{\prime }(0)={\int }_0^{0}f(s)ds=0$ であり、$H^{\prime }(x)=\frac{1}{2}{F}^{\prime }(x/2)$ だから $F^{\prime }(0)=0$ である。よって $F(x)=\alpha x^3+\beta x^2$ とおける。

すると $F^{\prime \prime }(x)=6\alpha x+2\beta$ であるから、(2)より

である。

条件 $F(1)=1$、$f(1)=1$ から $\alpha +\beta =1,$ $\frac{3}{4}\alpha +\frac{1}{2}\beta =1$ を得る。第2式を4倍して $3\alpha +2\beta =4$ であり、$\beta =1-\alpha$ を代入すると $3\alpha +2(1-\alpha )=4$ だから $\alpha =2,\beta =-1$ である。したがって $F(x)=2x^3-x^2$ であり、$f(x)=\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}$ である。