北海道大学 2013年度理系数学前期第1問解答・解説

問題

$a$ と $b$ を正の実数とする。 $y = a cos x$ $(0 ≦ x ≦ \frac{π}{2})$ のグラフを $C_{1}$ ， $y = b sin x$ $(0 ≦ x ≦ \frac{π}{2})$ のグラフを $C_{2}$ とし， $C_{1}$ と $C_{2}$ の交点を $P$ とする。

(1) $P$ の $x$ 座標を $t$ とする。このとき， $sin t$ および $cos t$ を $a$ と $b$ で表せ。

(2) $C_{1}$ ， $C_{2}$ と $y$ 軸で囲まれた領域の面積 $S$ を $a$ と $b$ で表せ。

(3) $C_{1}$ ， $C_{2}$ と直線 $x = \frac{π}{2}$ で囲まれた領域の面積を $T$ とする。
このとき， $T = 2 S$ となるための条件を $a$ と $b$ で表せ。

出典：北海道大学 2013年度前期日程第2次学力試験理系前期第1問

方針

交点の $x$ 座標を $t$ とおき、 $a cos t = b sin t$ から $sin t, cos t$ を $a, b$ で表す。面積 $S, T$ は上下関係を分けて積分し、条件 $T = 2 S$ を代数方程式に直す。

解答

交点の $x$ 座標を $t$ とする。 $a, b > 0$ であり、 $a cos x$ は $[0, π /2]$ で減少、 $b sin x$ は増加するので、交点はただ1つで、 $0 < t < π /2$ である。

交点では $a cos t = b sin t$ である。したがって $tan t = \frac{a}{b}$ より $sin t = \frac{a}{a ^{2} + b ^{2}}, cos t = \frac{b}{a ^{2} + b ^{2}}$ である。 $0 ≦ x ≦ t$ では $a cos x ≧ b sin x$ だから $S = \int_{0}^{t} (a cos x - b sin x) d x = [a sin x + b cos x]_{0}^{t}$ である。よって

S = a sin t + b cos t - b = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{a ^{2} + b ^{2}} - b = a^{2} + b^{2} - b

である。

また、 $t ≦ x ≦ π /2$ では $b sin x ≧ a cos x$ だから

T = \int_{t}^{π /2} (b sin x - a cos x) d x = [- b cos x - a sin x]_{t}^{π /2}

であり、 $T = - a + b cos t + a sin t = a^{2} + b^{2} - a$ となる。

条件 $T = 2 S$ より $a^{2} + b^{2} - a = 2 (a^{2} + b^{2} - b)$ である。整理して $a^{2} + b^{2} = 2 b - a$ を得る。左辺は正なので、右辺も正である。両辺を平方すると $a^{2} + b^{2} = (2 b - a)^{2} = 4 b^{2} - 4 ab + a^{2}$ であるから $3 b^{2} - 4 ab = 0$ となる。 $b > 0$ より $b = \frac{4}{3} a$ である。このとき $2 b - a = \frac{5}{3} a > 0$ であり、平方の操作にも矛盾しない。

北海道大学 2013年度理系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

北海道大学 2013年度
理系数学前期第1問