問題
実数，，，に対し，，とおいたとき，
をみたすとする。ただし，は虚数単位である。
(1) をで表し，，を，で表せ。
(2) かつとなるようなの範囲を座標平面上に図示せよ。
(3) 点がを動いたとき，の最小値を求めよ。
出典：北海道大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第3問
方針
まず を逆に解いて とし、 を で表す。領域は をそれぞれ不等式に直す。最大最小は 平面の正方形上で を の関数として調べ、内部と境界を確認する。
解答
(1) 与えられた式 を について解くと である。 とおくと である。分子を整理すると だから、 である。
(2) を の条件に直す。分母 は、 を除いて正である。
まず より である。また より であり、整理すると すなわち である。
次に より である。さらに より だから である。
したがって求める領域 は、 の上半円内で、さらに を満たす部分である。
(3) としたまま の実部・虚部を表すと、 より である。したがって である。ここで の正方形上でこの値を調べる。
ここで とおく。分母を として で微分すると、 である。 では であり、他の項も非負であるから、括弧内は正である。したがって は、各 に対して が増えるほど小さくなる。よって最小値は辺 上で調べればよい。 とすると である。この導関数は である。 にある臨界点は であり、この点の前後で導関数は正から負に変わるので、そこでは最大値をとる。したがって最小値は端点で比べればよい。 であるから、 である。このとき なので、点は である。