北海道大学 2013年度
理系数学 前期 第2問

解答

直線 $y=x$ に関する対称移動の行列は

である。また、直線 $y=cx$ に関する対称移動の行列は、方向ベクトル $(1,c)$ を用いて

である。

したがって、$g$ の後に $f$ を行う合成変換 $f\circ g$ の行列は

である。

一方、原点のまわりの120度回転の行列は

である。よって成分比較から $\frac{2c}{1+c^2}=-\frac{1}{2},\frac{c^2-1}{1+c^2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ である。

第1式から $c^2+4c+1=0$ となり、$c=-2\pm \sqrt{3}$ である。第2式を満たすのは $c=\sqrt{3}-2$ である。実際、このとき $c<0$ で、直線の傾きは負になる。

別解。直線 $y=cx$ が $x$ 軸となす角を $\theta$ とする。直線角 $\theta$ での反射の後に、直線角 $45^{\circ }$ での反射を行うと、合成は角 $2(45^{\circ }-\theta )$ の回転である。これが120度回転だから $2(45^{\circ }-\theta )=120^{\circ }$ より $\theta =-15^{\circ }$ である。したがって $c=\tan (-15^{\circ })=-\tan 15^{\circ }=-(2-\sqrt{3})=\sqrt{3}-2$ となる。