北海道大学 2013年度理系数学前期第4問解答・解説

問題

次の規則に従って座標平面を動く点 $P$ がある。2個のサイコロを同時に投げて出た目の積を $X$ とする。

(i) $X$ が4の倍数ならば，点 $P$ は $x$ 軸方向に $- 1$ 動く。

(ii) $X$ を4で割った余りが1ならば，点 $P$ は $y$ 軸方向に $- 1$ 動く。

(iii) $X$ を4で割った余りが2ならば，点 $P$ は $x$ 軸方向に $+ 1$ 動く。

(iv) $X$ を4で割った余りが3ならば，点 $P$ は $y$ 軸方向に $+ 1$ 動く。

たとえば，2と5が出た場合には $2 \times 5 = 10$ を4で割った余りが2であるから，点 $P$ は $x$ 軸方向に $+ 1$ 動く。
以下のいずれの問題でも，点 $P$ は原点 $(0, 0)$ を出発点とする。

(1) 2個のサイコロを1回投げて，点 $P$ が $(- 1, 0)$ にある確率を求めよ。

(2) 2個のサイコロを3回投げて，点 $P$ が $(2, 1)$ にある確率を求めよ。

(3) 2個のサイコロを4回投げて，点 $P$ が $(1, 1)$ にある確率を求めよ。

出典：北海道大学 2013年度前期日程第2次学力試験理系前期第4問

2個のさいころの積を $4$ で割った余りごとに分類し、各方向への移動確率を確定する。3回後や4回後の位置は、必要な東西南北の移動回数を方程式で絞り、該当する並べ方と確率の積で求める。

2個のさいころの目の積を $4$ で割った余りごとに数える。全事象は $36$ 通りである。

余りごとの通り数は

余り 0123 通り数 155124 確率 \frac{5}{12} \frac{5}{36} \frac{1}{3} \frac{1}{9} 移動 (- 1, 0) (0, - 1) (1, 0) (0, 1)

である。

(1) 1回で $(- 1, 0)$ に移動するには、積を $4$ で割った余りが $0$ であればよい。したがって求める確率は $\frac{5}{12}$ である。

(2) 3回後に $(2, 1)$ にいるためには、3回の移動が $(1, 0), (1, 0), (0, 1)$ でなければならない。なぜなら、 $(2, 1)$ は原点からのマンハッタン距離が $3$ であり、3回の移動で到達するにはすべて目的方向へ進む必要があるからである。

この3つの移動の並べ方は $\frac{3 !}{2 ! 1 !} = 3$ 通りである。よって確率は $3 (\frac{1}{3})^{2} (\frac{1}{9}) = \frac{1}{27}$ である。

(3) 4回後に $(1, 1)$ にいる場合を考える。東、西、北、南への移動回数をそれぞれ $e, w, n, s$ とすると、 $e - w = 1, n - s = 1, e + w + n + s = 4$ を満たす必要がある。

これを満たす非負整数解は $(e, w, n, s) = (1, 0, 2, 1), (2, 1, 1, 0)$ の2通りである。

まず $(1, 0, 2, 1)$ の場合、並べ方は $\frac{4 !}{1 ! 0 ! 2 ! 1 !} = 12$ 通りであり、確率は $12 (\frac{1}{3}) (\frac{1}{9})^{2} (\frac{5}{36})$ である。

次に $(2, 1, 1, 0)$ の場合、並べ方は $\frac{4 !}{2 ! 1 ! 1 ! 0 !} = 12$ 通りであり、確率は $12 (\frac{1}{3})^{2} (\frac{5}{12}) (\frac{1}{9})$ である。

したがって求める確率は

12 (\frac{1}{3}) (\frac{1}{9})^{2} (\frac{5}{36}) + 12 (\frac{1}{3})^{2} (\frac{5}{12}) (\frac{1}{9}) = \frac{50}{729}

である。