問題
との2チームが試合を行い，どちらかが先に勝するまで試合をくり返す。各試合でが勝つ確率を，が勝つ確率をとし，とする。がより先に勝する確率をとおく。
(1) をとで表せ。
(2) をとで表せ。
(3) をとで表せ。
(4) のとき，であることを示せ。
出典：北海道大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第5問
方針
Aが先に 勝して終了する場合、最後の試合は必ずAの勝ちである。最後の直前までにAは 勝しており、Bの勝ち数 は で止まるので、直前までの勝敗列は 通りになる。この数え方で を出し、最後は として を正の因子に分解する。
解答
(1)
Aが先に2勝して終了するには、最後の試合はAが勝つ。最後の直前までにAは1勝しており、Bは0勝または1勝である。
Bが0勝なら勝敗列は の1通り、Bが1勝なら最後のAの前に が1回ずつ並ぶので2通りである。したがって である。
(2)
Aが先に3勝して終了するには、最後の試合はAが勝ち、その直前までにAは2勝している。直前までのBの勝ち数を とすると、 である。
Bが 勝のとき、最後の前の 試合の中でBの勝ちの位置を選べばよいので 通りである。したがって であり、 である。
(3)
同様に、Aが先に4勝して終了するには、最後の前にAは3勝、Bは 勝している。Bが 勝のとき、最後の前の 試合におけるBの勝ちの位置は 通りである。よって である。したがって である。
(4)
である。(2),(3)より である。共通因子 をくくり、 を代入すると である。中括弧の中を整理すると となる。したがって である。
条件 のもとでは 、、 であるから である。よって が示された。