北海道大学 2012年度理系数学前期第3問解答・解説

問題

次の問に答えよ。

(1) $x ≧ 0$ のとき， $x - \frac{x ^{3}}{6} ≦ sin x ≦ x$ を示せ。

(2) $x ≧ 0$ のとき， $\frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{5}}{30} ≦ \int_{0}^{x} t sin t d t ≦ \frac{x ^{3}}{3}$ を示せ。

(3) 極限値 $x \to 0 lim \frac{sin x - x cos x}{x ^{3}}$ を求めよ。

出典：北海道大学 2012年度前期日程第2次学力試験理系前期第3問

方針

(1)は $x - sin x$ と $sin x - x + x^{3} /6$ を補助関数にして、微分の符号から上下評価を作る。(2)は(1)の不等式に $t ≧ 0$ を掛けて $0$ から $x$ まで積分する。(3)は分子 $sin x - x cos x$ が $\int_{0}^{x} t sin t d t$ に等しいことを部分積分で示し、(2)の評価ではさむ。最後に式が偶関数になるため両側極限も同じであることを確認する。

解答

(1)

まず $h (x) = x - sin x$ とおく。 $x ≧ 0$ で $h^{'} (x) = 1 - cos x ≧ 0$ であり、 $h (0) = 0$ だから $sin x ≦ x$ である。

次に $ϕ (x) = sin x - x + \frac{x ^{3}}{6}$ とおく。すると $ϕ^{'} (x) = cos x - 1 + \frac{x ^{2}}{2}, ϕ^{''} (x) = - sin x + x = x - sin x$ である。すでに示した $sin x ≦ x$ より、 $x ≧ 0$ で $ϕ^{''} (x) ≧ 0$ である。さらに $ϕ^{'} (0) = 0, ϕ (0) = 0$ だから、 $ϕ^{'} (x) ≧ 0$ 、さらに $ϕ (x) ≧ 0$ が従う。よって $sin x - x + \frac{x ^{3}}{6} ≧ 0$ すなわち $x - \frac{x ^{3}}{6} ≦ sin x ≦ x$ である。

(2)

$0 ≦ t ≦ x$ では $t ≧ 0$ なので、(1)の不等式に $t$ を掛けて $t^{2} - \frac{t ^{4}}{6} ≦ t sin t ≦ t^{2}$ を得る。これを $0$ から $x$ まで積分すると

\int_{0}^{x} (t^{2} - \frac{t ^{4}}{6}) d t ≦ \int_{0}^{x} t sin t d t ≦ \int_{0}^{x} t^{2} d t

である。したがって

\frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{5}}{30} ≦ \int_{0}^{x} t sin t d t ≦ \frac{x ^{3}}{3}

である。

(3)

部分積分を用いると

\int_{0}^{x} t sin t d t = [- t cos t]_{0}^{x} + \int_{0}^{x} cos t d t = - x cos x + sin x

である。よって $sin x - x cos x = \int_{0}^{x} t sin t d t$ である。 $x > 0$ について(2)を $x^{3}$ で割ると $\frac{1}{3} - \frac{x ^{2}}{30} ≦ \frac{s i n x - x c o s x}{x ^{3}} ≦ \frac{1}{3}$ である。はさみうちより $lim_{x \to + 0} \frac{s i n x - x c o s x}{x ^{3}} = \frac{1}{3}$ である。

さらに $sin x - x cos x$ は奇関数であり、 $x^{3}$ も奇関数なので、商 $\frac{s i n x - x c o s x}{x ^{3}}$ は偶関数である。したがって左側極限も同じ値になり、 $x \to 0 lim \frac{sin x - x cos x}{x ^{3}} = \frac{1}{3}$ である。

北海道大学 2012年度理系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2012年度
理系数学前期第3問