問題
で定義された関数
を考える。
(1) とおく。をで表せ。
(2) の最大値と最小値、およびそのときのの値を求めよ。
(3) 方程式が相異なる3つの解をもつような実数の値の範囲を求めよ。
出典：北海道大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第2問
方針
(1)(2)は によって三角関数を三次関数 に直し、 の端点と停留点を比較する。(3)では が与えられた区間で一対一であることを使い、 が3つの単調区間それぞれで1解ずつもつ条件を、極小値・端点値・極大値の上下関係から読む。
解答
(1)
とおく。 なので である。二倍角の公式より であるから である。整理して である。
(2)
とおく。 はこの区間で一対一に を動くので、 の最大・最小を調べればよい。
微分すると である。したがって停留点は である。端点も含めると である。よって最大値は であり、最小値は である。
(3)
より、 は
である。各区間の端の値は
である。
方程式 が3つの相異なる解をもつには、3つの単調区間それぞれで1つずつ交点をもてばよい。左の区間で交点をもつには が必要である。ただし では、左区間と中央区間の交点が同じ点 になり、相異なる解は2つに減る。したがって下端は含まない。
中央区間と右区間の条件も合わせると、求める範囲は である。上端 では が1つの解となり、中央区間と右区間にも1つずつ解があるので、相異なる3解をもつ。