北海道大学 2012年度
理系数学 前期 第1問

解答

(1)

行列 $A$ によって点 $(x,y)$ は $(x,y)\mapsto (ax+by,cx+dy)$ へ移る。

条件(イ)より、直線 $y=x$ 上の方向ベクトル $(1,1)$ の像 $(a+b,c+d)$ も直線 $y=x$ 上にある。したがって $a+b=c+d$ である。

条件(ロ)より、直線 $y=-x$ 上の方向ベクトル $(1,-1)$ の像 $(a-b,c-d)$ も直線 $y=-x$ 上にある。したがって $c-d=-(a-b)$ である。2式 $a+b=c+d,c-d=-a+b$ を加減すると $c=b,d=a$ を得る。

条件(ハ)より、x軸上の方向ベクトル $(1,0)$ の像 $(a,c)=(a,b)$ は直線 $y=kx$ 上にある。ここで $a=0$ なら、後で得る $a^2-b^2=1$ に反して不可能である。よって $b=ka$ である。

行列式条件 $ad-bc=1$ は、$c=b,d=a$ より $a^2-b^2=1$ となる。さらに $b=ka$ を代入すると $a^2(1-k^2)=1$ である。左辺が正でなければならないので $1-k^2>0$ である。したがって $\boxed{-1<k<1}$ である。

(2)

(1)より $a^2(1-k^2)=1$ であるから $a=\pm \frac{1}{\sqrt{1-k^2}}$ である。また $b=ka$、$c=b$、$d=a$ なので

である。よって

または

である。

別解。直線 $y=x$、$y=-x$ の方向を基準に見ると、$(1,1)$ と $(1,-1)$ はそれぞれ同じ直線上に移る。したがって、ある実数 $\alpha ,\beta$ を用いて

と書ける。$(1,0)=\frac{1}{2}(1,1)+\frac{1}{2}(1,-1)$ だから、x軸の像の方向は

であり、これが傾き $k$ をもつことから $\frac{\alpha -\beta }{\alpha +\beta }=k$ を得る。また行列式は基準を変えても変わらないので $\alpha \beta =1$ である。$r=\alpha /\beta$ とおくと $k=\frac{r-1}{r+1}$ であり、これを解いて $r=\frac{1+k}{1-k}$ を得る。$-1<k<1$ のとき $r>0$ であり、$\alpha \beta =1$ と合わせて $\alpha ,\beta$ は同符号の2通りに決まる。これを標準の $(x,y)$ 座標に戻すと、上と同じ2通りの行列が得られる。