北海道大学 2012年度
理系数学 前期 第4問

解答

(1)

$f(c)=g(c)$ より $c^2-2ac+b=c^2-2bc+a$ である。整理すると $2(b-a)c=a-b$ である。$a\ne b$ だから $b-a\ne 0$ であり、$\boxed{c=-\frac{1}{2}}$ を得る。

(2)

(1)で求めた $c$ は $-1/2$ である。条件 $a<c<b$ は $a<-\frac{1}{2}<b$ を意味する。

2つの放物線は $x=-1/2$ で交わる。また $f(x)-g(x)=2(b-a)x+(b-a)=(b-a)(2x+1)$ であり、ここでは $a<b$ だから、$x<-1/2$ では $f(x)<g(x)$、$x>-1/2$ では $g(x)<f(x)$ である。

いま $f$ の頂点は $x=a<-1/2$、$g$ の頂点は $x=b>-1/2$ にある。したがって、共通に負となる点があるかどうかは、2つのグラフが入れ替わる点 $x=-1/2$ での共通値が負かどうかで決まる。実際、$x<-1/2$ で上側にあるのは $g$ で、$g$ は $-1/2$ へ近づくほど小さくなる。また $x>-1/2$ で上側にあるのは $f$ で、$f$ は $-1/2$ から離れるほど大きくなる。

よって必要十分条件は $f\left(-\frac{1}{2}\right)=g\left(-\frac{1}{2}\right)<0$ である。計算すると $f\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}+a+b$ だから、求める条件は $\boxed{a+b+\frac{1}{4}<0}$ である。

(3)

一般に $a<b$ とする。このときも交点は $x=-1/2$ であり、$f(x)-g(x)=(b-a)(2x+1)$ だから、$x<-1/2$ では $f(x)<g(x)$、$x>-1/2$ では $g(x)<f(x)$ である。したがって共通に負となるには、上側にある方の放物線が負になるところを調べればよい。

場合1：

$b\leqq -1/2$ のとき。$a<b\leqq -1/2$ なので、2つの頂点はいずれも交点の左側にある。左側で上側にあるのは $g$ であり、$g$ の頂点 $x=b$ も左側にある。したがって共通に負となる点が存在するための必要十分条件は $g(b)<0$ である。これは $b^2-2b^2+a=a-b^2<0$ すなわち $a<b^2$ である。

場合2：

$a<-1/2<b$ のとき。これは(2)と同じ配置なので、必要十分条件は $a+b+\frac{1}{4}<0$ である。

場合3：

$-1/2\leqq a$ のとき。$-1/2\leqq a<b$ なので、2つの頂点はいずれも交点の右側にある。右側で上側にあるのは $f$ であり、$f$ の頂点 $x=a$ も右側にある。したがって共通に負となる点が存在するための必要十分条件は $f(a)<0$ である。これは $a^2-2a^2+b=b-a^2<0$ すなわち $b<a^2$ である。

以上より、$a<b$ のもとで求める必要十分条件は

のいずれかである。

図示すると、直線 $a=b$ に対して $a<b$ となる側に限り、$b\leqq -1/2$ では放物線 $a=b^2$ の左側、$a<-1/2<b$ では直線 $a+b+1/4=0$ の下側、$-1/2\leqq a$ では放物線 $b=a^2$ の下側を取る。境界 $a=b^2$、$a+b+1/4=0$、$b=a^2$ は不等式が厳密なので含まない。