北海道大学 2007年度
理系数学 前期 第5問

解答

楕円 $C_1$ の焦点距離の2乗は ${\alpha }^2-{\beta }^2$ であり，双曲線 $C_2$ の焦点距離の2乗は $a^2+b^2$ である。焦点が一致しているので ${\alpha }^2-{\beta }^2=a^2+b^2$ である。

交点を $(x,y)$ とする。まず，$y=0$ とすると楕円から $x^2={\alpha }^2$，双曲線から $x^2=a^2$ となるが，焦点一致条件と $\beta ,b>0$ により同時には成り立たない。したがって交点では $y\ne 0$ である。

楕円を微分すると $\frac{2x}{{\alpha }^2}+\frac{2y}{{\beta }^2}{y}^{\prime }=0$ より，楕円の接線の傾きは $y_1^{\prime }=-\frac{{\beta }^{2}x}{{\alpha }^{2}y}$ である。双曲線を微分すると $\frac{2x}{a^2}-\frac{2y}{b^2}{y}^{\prime }=0$ より，双曲線の接線の傾きは $y_2^{\prime }=\frac{b^{2}x}{a^{2}y}$ である。

したがって $y_1^{\prime }{y}_2^{\prime }=-\frac{{\beta }^2{b}^2{x}^2}{{\alpha }^2{a}^2{y}^2}$ である。これが $-1$ になることを示せばよい。

交点条件は

である。これらから $x^2,y^2$ を消去して求める。第1式より $y^2={\beta }^2\left(1-\frac{x^2}{{\alpha }^2}\right)$ を第2式に代入すると

である。整理すると

となり，焦点一致条件 ${\alpha }^2-{\beta }^2=a^2+b^2$ を用いると $x^2=\frac{{\alpha }^2{a}^2}{{\alpha }^2-{\beta }^2}$ を得る。さらに双曲線の式から

である。

よって $\frac{{\beta }^2{b}^2{x}^2}{{\alpha }^2{a}^2{y}^2}=1$ であり，$y_1^{\prime }{y}_2^{\prime }=-1$ となる。したがって2つの接線は直交する。