問題
図のような，半径の円を底面とする高さの円柱の上に，同じ大きさの円を底面とする高さの直円錐の屋根をのせてできる建物を考える．
(1) をこの建物の体積，をこの建物の外側の表面積(底面は除く)とする．とを，，で表せ．
(2) を一定に保ちながら，，を動かして，を最小にしたい．
(i) ，とおき，とを一定としたとき，の最小値をとで表せ．
(ii) が最小となるときの比を求めよ．
出典：北海道大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第4問
方針
体積は円柱と円錐，表面積は円柱側面と円錐側面に分ける。 とおくと，体積一定条件は となり， は だけの関数として最小化できる。 の最小は である。得られた をさらに で最小化し，体積条件に戻して ，すなわち を求める。
解答
(1)
体積は，円柱の体積と直円錐の体積の和である。したがって である。
底面を除く外側の表面積は，円柱の側面積と直円錐の側面積の和である。円錐の母線の長さは なので である。
(2)(i)
とおくと である。 と を固定し とおくと，体積条件は である。したがって を代入して
となる。
ここで とおく。微分すると である。 より であり， だから である。このとき
である。よって，この内点で最小を取る場合の最小値は である。なお，後で得る全体最小では となるので，この内点候補が実際に用いられる。
(2)(ii)
(2)(i)で得た を について最小にする。微分すると である。最小となるとき すなわち である。
このとき であり，(2)(i)より だから である。したがって であり，求める比は である。
別解。最後の の最小化は相加相乗平均でも見通せる。最小時には が成り立つ形になり，これを整理して を得る。以後は上と同じく ， に戻せばよい。