北海道大学 2007年度理系数学前期第3問解答・解説

問題

$x y$ 平面上の曲線 $y = x e^{x}$ と $x$ 軸および2直線 $x = n$ ， $x = n + 1$ で囲まれる図形を $D_{n}$ とする．ただし， $n$ を自然数とする．

(1) 図形 $D_{n}$ の面積を $S_{n}$ として， $n \to \infty lim \frac{S _{n}}{n e ^{n}}$ を求めよ．

(2) 図形 $D_{n}$ を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を $V_{n}$ として， $n \to \infty lim \frac{V _{n}}{( S _{n} ) ^{2}}$ を求めよ．

出典：北海道大学 2007年度前期日程第2次学力試験理系前期第3問

方針

面積は $S_{n} = \int_{n}^{n + 1} x e^{x} d x$ ，回転体の体積は円板法で $V_{n} = π \int_{n}^{n + 1} x^{2} e^{2 x} d x$ と書ける。原始関数を求めて主要項を比較してもよいし， $x = n + u$ と置いて $0 ≦ u ≦ 1$ の積分に直し， $n$ で割った極限を直接読むこともできる。最後は $S_{n}$ が $n e^{n} (e - 1)$ に比例することと， $V_{n}$ が $n^{2} e^{2 n} π (e^{2} - 1) /2$ に比例することを組み合わせる。

解答

(1)

$n$ は自然数なので，区間 $[n, n + 1]$ で $x e^{x}$ は正である。したがって面積は $S_{n} = \int_{n}^{n + 1} x e^{x} d x$ である。部分積分により $\int x e^{x} d x = (x - 1) e^{x}$ だから

S_{n} = [(x - 1) e^{x}]_{n}^{n + 1} = n e^{n + 1} - (n - 1) e^{n} = e^{n} {n (e - 1) + 1}

である。よって $\frac{S _{n}}{n e ^{n}} = e - 1 + \frac{1}{n}$ となり， $lim_{n \to \infty} \frac{S _{n}}{n e ^{n}} = e - 1$ である。

(2)

$D_{n}$ を $x$ 軸のまわりに回転すると，半径 $x e^{x}$ の円板を積み重ねた立体になる。したがって $V_{n} = π \int_{n}^{n + 1} x^{2} e^{2 x} d x$ である。部分積分を繰り返すと

\int x^{2} e^{2 x} d x = e^{2 x} (\frac{x ^{2}}{2} - \frac{x}{2} + \frac{1}{4})

である。よって

V_{n} = π e^{2 n} [e^{2} {\frac{( n + 1 ) ^{2}}{2} - \frac{n + 1}{2} + \frac{1}{4}} - (\frac{n ^{2}}{2} - \frac{n}{2} + \frac{1}{4})]

である。両辺を $n^{2} e^{2 n}$ で割ると， $n$ の最高次の係数だけが残り $lim_{n \to \infty} \frac{V _{n}}{n ^{2} e ^{2 n}} = \frac{π ( e ^{2} - 1 )}{2}$ となる。

一方，(1)より $lim_{n \to \infty} \frac{S _{n}}{n e ^{n}} = e - 1$ であるから

n \to \infty lim \frac{V _{n}}{S _{n}^{2}} = \frac{n \to \infty lim \frac{V _{n}}{n ^{2} e ^{2 n}}}{( n \to \infty lim \frac{S _{n}}{n e ^{n}} ) ^{2}} = \frac{π ( e ^{2} - 1 )}{2 ( e - 1 ) ^{2}} = \frac{π ( e + 1 )}{2 ( e - 1 )}

である。

別解。 $x = n + u$ とおくと $\frac{S _{n}}{n e ^{n}} = \int_{0}^{1} (1 + \frac{u}{n}) e^{u} d u$ であるから，極限は $\int_{0}^{1} e^{u} d u = e - 1$ である。同様に

\frac{V _{n}}{n ^{2} e ^{2 n}} = π \int_{0}^{1} (1 + \frac{u}{n})^{2} e^{2 u} d u

なので，極限は $π \int_{0}^{1} e^{2 u} d u = π (e^{2} - 1) /2$ である。これを用いても同じ結論になる。

北海道大学 2007年度理系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2007年度
理系数学前期第3問