北海道大学 2007年度理系数学前期第2問解答・解説

問題

4枚のカードがあって，1から4までの整数がひとつずつ書かれている．このカードをよく混ぜて，1枚引いては数字を記録し，カードを元に戻す．この試行を $n$ 回繰り返し，記録した順に数字を並べて得られる数列を， $a_{1}, a_{2}, \dots\dots, a_{n}$ とする．

(1) 条件 $a_{1} ≦ a_{2} ≦ \dots\dots ≦ a_{n} = j$ を満たす数列が $A_{n} (j)$ 通りあるとする．ただし， $j = 1, 2, 3, 4$ とする．

(i) $A_{n} (1)$ ， $A_{n} (2)$ を求めよ．

(ii) $n ≧ 2$ のとき， $A_{n} (j)$ $(j = 3, 4)$ を $A_{n - 1} (1), A_{n - 1} (2), \dots\dots, A_{n - 1} (j)$ で表し， $A_{n} (3)$ ， $A_{n} (4)$ を求めよ．

(2) $n ≧ 2$ のとき， $a_{1} ≦ a_{2} ≦ \dots\dots ≦ a_{n - 1}$ かつ $a_{n - 1} > a_{n}$ となる確率を求めよ．

出典：北海道大学 2007年度前期日程第2次学力試験理系前期第2問

方針

非減少列は各数字の個数で決まる。最後が $j$ である列を作るには，最後の $j$ を1つ固定し，残り $n - 1$ 個に1から $j$ までの数字を非減少に並べればよい。これにより $A_{n} (3)$ ， $A_{n} (4)$ を求める。(2)は最初の $n - 1$ 個の非減少列の最後の値を $j$ とし，最後の $a_{n}$ は $j$ より小さい $j - 1$ 通りから選ぶ。最後に全事象 $4^{n}$ で割る。

解答

(1)(i)

最後が1で非減少ならば，すべての項が1である。したがって $A_{n} (1) = 1$ である。

最後が2で非減少ならば，列は1がいくつか並んだ後に2が並ぶ形である。最後は必ず2なので，1の個数は $0, 1, \dots, n - 1$ の $n$ 通りである。よって $A_{n} (2) = n$ である。

(1)(ii)

$n ≧ 2$ とする。 $a_{n} = j$ で非減少である列は，直前までの最後の値が1から $j$ のいずれかである。したがって $A_{n} (j) = A_{n - 1} (1) + A_{n - 1} (2) + \dots + A_{n - 1} (j)$ である。

また， $A_{n} (j)$ は最後の $j$ を1つ固定し，残り $n - 1$ 個に1から $j$ までの数字を非減少に並べる方法の数である。したがって個数の分配で数えると $A_{n} (3) =_{n + 1} C_{2} = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ であり， $A_{n} (4) =_{n + 2} C_{3} = \frac{n ( n + 1 ) ( n + 2 )}{6}$ である。

(2)

$m = n - 1$ とおく。最初の $m$ 個が非減少で，その最後の値が $j$ であるとする。このとき $a_{n}$ は $1, 2, \dots, j - 1$ の $j - 1$ 通りから選べる。

したがって条件を満たす数列の個数は $A_{m} (2) + 2 A_{m} (3) + 3 A_{m} (4)$ である。ここに(1)の結果を代入すると

m + 2 \cdot \frac{m ( m + 1 )}{2} + 3 \cdot \frac{m ( m + 1 ) ( m + 2 )}{6} = m + m (m + 1) + \frac{m ( m + 1 ) ( m + 2 )}{2}

である。 $m = n - 1$ として整理すると $\frac{( n - 1 ) ( n + 1 ) ( n + 2 )}{2}$ となる。

全事象は， $n$ 回それぞれ4通りなので $4^{n}$ 通りである。よって求める確率は $\frac{( n - 1 ) ( n + 1 ) ( n + 2 )}{2 \cdot 4 ^{n}}$ である。

北海道大学 2007年度理系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)(i)

(1)(ii)

(2)

北海道大学 2007年度
理系数学前期第2問