問題
方程式で定義される円を考える．
(1) 点と点を通り，円に接する円の中心の座標を求めよ．
(2) 点が円上を動くとき，の最大値と最小値を求めよ．
出典：北海道大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第1問
方針
円 を標準形に直したうえで， を通る円の中心を線分 の垂直二等分線上の とおく。半径 と との中心間距離を で表し，外接・内接の条件から を得る。(2)は， を通る円が と接する限界で円周角の極値を取ることを使い，弦 と半径 の関係から を求める。
解答
円 は であり，中心を ，半径を とする。
(1)
と を通る円の中心は，線分 の垂直二等分線上にある。よって中心を とおく。この円の半径 は であり， と の距離 は である。
外接の場合は である。平方して整理すると であり， だから となる。右辺が非負であることも考えると，これを平方して得られる候補のうち だけが適する。
内接の場合は である。同様に より となり，候補のうち だけが適する。
したがって求める中心は
である。
(2)
点 が円 上を動くとき， を通る円は と共有点をもつ。共有点をもつ範囲の限界では2円が接し，(1)で求めた の場合が角の極値を与える。
弦 の長さは である。 を通る円の半径を とすると である。 では なので であり， である。 では なので である。このときの角は鋭角であるから である。
よって最大値は であり，最小値は である。