問題
1つのさいころを投げ続けて，同じ目が2回連続して出たら終了するものとする．
(1) 4回目以内(4回目も含む)に終了する確率を求めよ．
(2) 回目以内(回目も含む)に終了する確率を求めよ．ただし，とする．
出典：北海道大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第5問
方針
「指定回以内に終了する」確率は，余事象である「その回まで一度も同じ目が連続しない」確率を引くと短い。1回目は自由で，2回目以降に直前と異なる確率は毎回 である。4回目以内なら不一致が3回続く余事象， 回目以内なら不一致が 回続く余事象を考える。
解答
(1)
4回目以内に終了しないのは，2回目，3回目，4回目のすべてで，直前の目と異なる目が出る場合である。各回で直前と異なる確率は であるから，4回目まで終了しない確率は である。
したがって，4回目以内に終了する確率はその余事象を引いて
である。
(2)
とする。 回目以内に終了しないのは，2回目から 回目までの 回すべてで，直前と異なる目が出る場合である。したがってその確率は である。
よって， 回目以内に終了する確率は である。