北海道大学 2006年度理系数学前期第4問解答・解説

問題

(1) 整数 $m$ ， $n$ に対して積分 $I_{m, n} = \int_{0}^{2 π} cos m x cos n x d x$ を求めよ．

(2) 自然数 $n$ に対して積分 $J_{n} = \int_{0}^{2 π} (k = 1 \sum n k cos k x)^{2} d x$ を求めよ．

出典：北海道大学 2006年度前期日程第2次学力試験理系前期第4問

方針

(1)は積和公式 $cos m x cos n x = \frac{1}{2} {cos (m + n) x + cos (m - n) x}$ を使う。整数 $k$ について $\int_{0}^{2 π} cos k x d x$ は $k = 0$ のときだけ $2 π$ ，それ以外は0であることから， $∣ m ∣ = ∣ n ∣$ かどうかで分類する。(2)は平方を展開して二重和にし，(1)の直交性により $k = l$ の対角項だけが残ることを使う。

解答

(1)

積和公式より $cos m x cos n x = \frac{1}{2} {cos (m + n) x + cos (m - n) x}$ である。また，整数 $k$ について

\int_{0}^{2 π} cos k x d x = {2 π 0 (k = 0), (k \neq = 0)

である。

したがって

I_{m, n} = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} cos (m + n) x d x + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} cos (m - n) x d x

である。ここから， $m = n = 0$ のときは両方の積分が $2 π$ なので $I_{0, 0} = 2 π$ である。 $∣ m ∣ = ∣ n ∣ \neq = 0$ のときは， $m - n = 0$ または $m + n = 0$ のどちらか一方だけが成り立つので $I_{m, n} = π$ である。それ以外，すなわち $∣ m ∣ \neq = ∣ n ∣$ のときは両方とも0になるので $I_{m, n} = 0$ である。

よって

I_{m, n} = ⎩ ⎨ ⎧ 2 π π 0 (m = n = 0), (∣ m ∣ = ∣ n ∣ \neq = 0), (∣ m ∣ \neq = ∣ n ∣)

である。

(2)

平方を展開すると

J_{n} = \int_{0}^{2 π} (k = 1 \sum n k cos k x)^{2} d x = k = 1 \sum n l = 1 \sum n k l \int_{0}^{2 π} cos k x cos l x d x

である。

ここで $k, l$ は1以上なので，(1)より

\int_{0}^{2 π} cos k x cos l x d x = {π 0 (k = l), (k \neq = l)

である。したがって対角項だけが残り， $J_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k π = π \frac{n ( n + 1 )}{2}$ である。よって $J_{n} = \frac{π n ( n + 1 )}{2}$ である。

北海道大学 2006年度理系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

北海道大学 2006年度
理系数学前期第4問