北海道大学 2006年度
理系数学 前期 第1問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 理系
- 分野
- 方程式・不等式
- 解法
- 範囲評価、文字消去、必要十分条件
- 難易度
- 6 / 10 計算量 5 / 10 目安 22〜25分
問題
実数x，y，zはx≦y≦z≦1かつ4x+3y+2z=1をみたすとする．
(1) xの最大値とyの最小値を求めよ．
(2) 3x−y+zの値の範囲を求めよ．
出典：北海道大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第1問
方針
(1)は順序条件を一次式 4x+3y+2z=1 に代入して上界・下界を作る。x≦y≦z から 4x+3y+2z≧9x，また x≦y と z≦1 から 4x+3y+2z≦7y+2 を得る。等号成立点を確認して最大・最小を確定する。(2)は 3x−y+z を y,z で表し，13y+2z の最大・最小を順序条件から評価する。等号成立例を添えて，範囲全体を確定する。
解答
(1)
x≦y≦z より 4x+3y+2z≧4x+3x+2x=9x である。ところが 4x+3y+2z=1 なので 1≧9x となり，x≦91 である。等号は x=y=z=91 のとき成り立ち，この点は条件を満たす。したがって x の最大値は 91 である。
次に y の最小値を求める。x≦y より 4x≦4y，また z≦1 より 2z≦2 であるから 1=4x+3y+2z≦4y+3y+2=7y+2 である。したがって y≧−71 である。等号は x=y=−71,z=1 のとき成り立ち，この点は x≦y≦z≦1,4x+3y+2z=1 を満たす。よって y の最小値は −71 である。
(2)
条件式から x=41−3y−2z である。したがって
3x−y+z=3⋅41−3y−2z−y+z=43−13y−2z
である。よって 3x−y+z の範囲を求めるには，13y+2z の範囲を調べればよい。
まず y≦z≦1 より y≦1，z≦1 であるから 13y+2z≦15 である。したがって 3x−y+z≧43−15=−3 である。等号は (y,z)=(1,1),x=−1 すなわち (x,y,z)=(−1,1,1) で成り立つ。
次に下から評価する。x≦y と条件式から 1=4x+3y+2z≦7y+2z である。よって y≧71−2z であり，13y+2z≧13⋅71−2z+2z=713−12z である。さらに z≦1 だから 713−12z≧71 である。したがって 13y+2z≧71 となり，3x−y+z≦43−71=75 である。等号は z=1,x=y=−71 のとき成り立つ。
以上より −3≦3x−y+z≦75 である。
