問題
軸上の2点，と軸上の正の部分を動く点を考える．とおく．
(1) をで表せ．
(2) が最大になるを求めよ．
出典：北海道大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第3問
方針
(1)は と の内積から を出す。(2)では の範囲で， の最大化は の最小化と同じである。 と置き， を の関数として微分する。別解として， を見込む角が最大になる点は， 軸に接し， を通る円の接点であることから求められる。
解答
(1)
なので である。したがって であり，
である。よって
である。
(2)
であり， は と の間の角である。したがって を最大にするには， を最小にすればよい。ここで なので， を最小にしてよい。 とおくと であり， である。この関数を とおく。正の関数なので，増減は対数微分で調べられる。 である。極値条件は である。右辺を整理すると なので となる。展開して より である。
また， では ， では となるので，ここで最小となる。したがって であり， だから のとき は最大となる。
別解。点 から線分 を見込む角が一定である点の軌跡は， を通る円弧である。 軸上で見込む角が最大になるのは，その円が 軸に接するときである。円の中心は の垂直二等分線上にあるから，中心を とおく。接点は で，半径は である。点 を通るので となり， である。 は 軸の正の部分を動くので を得る。