北海道大学 2006年度理系数学前期第2問解答・解説

問題

空間内に，3点 $A_{0} (1, 0, 0)$ ， $A_{1} (1, 1, 0)$ ， $A_{2} (1, 0, 1)$ を通る平面 $α$ と，3点 $B_{0} (2, 0, 0)$ ， $B_{1} (2, 1, 0)$ ， $B_{2} (\frac{5}{2}, 0, \frac{3}{2})$ を通る平面 $β$ を考える．

(1) 空間の基本ベクトルを $e_{1} = (1, 0, 0)$ ， $e_{2} = (0, 1, 0)$ ， $e_{3} = (0, 0, 1)$ とおくとき，ベクトル $O A_{0}$ ， $A_{0} A_{1}$ ， $A_{0} A_{2}$ ， $O B_{0}$ ， $B_{0} B_{1}$ ， $B_{0} B_{2}$ を $e_{1}$ ， $e_{2}$ ， $e_{3}$ で表せ．ただし， $O$ は空間の原点を表す．

(2) 原点 $O$ と $α$ 上の点 $P$ を通る直線が $β$ 上の点 $P^{'}$ も通っているとする． $O P = O A_{0} + a A_{0} A_{1} + b A_{0} A_{2}$ ， $O P^{'} = O B_{0} + p B_{0} B_{1} + q B_{0} B_{2}$ とおくとき， $a$ ， $b$ を $p$ ， $q$ で表せ．

(3) 点 $P$ が $α$ 上の点 $A_{0}$ を中心とする半径1の円 $C$ の円周上を動くとき，点 $P^{'}$ が動いてできる図形 $C^{'}$ の方程式を(2)の $p$ ， $q$ で表し， $C^{'}$ が楕円であることを示せ．

出典：北海道大学 2006年度前期日程第2次学力試験理系前期第2問

方針

(1)は与えられた点の差をそのまま基本ベクトルで表す。(2)では $P = (1, a, b)$ ， $P^{'} = (2 + q /2, p, 3 q /2)$ と成分表示し， $O, P, P^{'}$ が一直線上にあることを $P^{'} = λ P$ と表す。第1成分から $λ = (q + 4) /2$ を得て， $a, b$ を $p, q$ で表す。(3)は円 $C$ の条件 $a^{2} + b^{2} = 1$ を(2)の式に代入し，整理して標準形の楕円方程式を得る。

解答

(1)

点の座標から直接 $O A_{0} = (1, 0, 0) = e_{1}$ であり， $A_{0} A_{1} = A_{1} - A_{0} = (0, 1, 0) = e_{2}$ である。また $A_{0} A_{2} = A_{2} - A_{0} = (0, 0, 1) = e_{3}$ である。

同様に $O B_{0} = (2, 0, 0) = 2 e_{1}$ であり， $B_{0} B_{1} = B_{1} - B_{0} = (0, 1, 0) = e_{2}$ である。さらに

B_{0} B_{2} = B_{2} - B_{0} = (\frac{1}{2}, 0, \frac{3}{2}) = \frac{1}{2} e_{1} + \frac{3}{2} e_{3}

である。

(2)

与えられた表示から

O P = O A_{0} + a A_{0} A_{1} + b A_{0} A_{2} = (1, a, b)

である。また

O P^{'} = O B_{0} + p B_{0} B_{1} + q B_{0} B_{2} = (2 + \frac{q}{2}, p, \frac{3}{2} q)

である。

点 $O, P, P^{'}$ が一直線上にあるから，ある実数 $λ$ を用いて $O P^{'} = λ O P$ と書ける。第1成分を比べると $λ = 2 + \frac{q}{2} = \frac{q + 4}{2}$ である。 $P$ の第1成分は1なので，この $λ$ は0ではない。したがって第2成分，第3成分から $p = λa, \frac{3}{2} q = λb$ である。よって $a = \frac{2 p}{q + 4}, b = \frac{3 q}{q + 4}$ である。

(3)

点 $P$ が $α$ 上で，中心 $A_{0}$ ，半径1の円 $C$ 上を動く条件は $A_{0} P^{2} = a^{2} + b^{2} = 1$ である。(2)で得た式を代入すると $(\frac{2 p}{q + 4})^{2} + (\frac{3 q}{q + 4})^{2} = 1$ である。両辺に $(q + 4)^{2}$ を掛けて $4 p^{2} + 3 q^{2} = (q + 4)^{2}$ を得る。整理すると $4 p^{2} + 3 q^{2} = q^{2} + 8 q + 16$ すなわち $2 p^{2} + q^{2} - 4 q - 8 = 0$ である。平方完成して $2 p^{2} + (q - 2)^{2} = 12$ となる。標準形に直すと $\frac{p ^{2}}{6} + \frac{( q - 2 ) ^{2}}{12} = 1$ である。これは $(p, q)$ 平面において，中心 $(0, 2)$ ，2つの軸が座標軸に平行な楕円を表す。したがって $C^{'}$ は楕円である。

北海道大学 2006年度理系数学 前期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

北海道大学 2006年度
理系数学前期第2問