問題
，を正の実数とする．空間内の2点，を通る直線をとする．直線を軸のまわりに1回転して得られる図形をとする．
(1) 座標の値がであるような直線上の点の座標を求めよ．
(2) 図形と平面が交わって得られる図形の方程式を求めよ．
(3) 図形と2つの平面とで囲まれた立体の体積を求めよ．
出典：北海道大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験 理系 前期 第4問
方針
直線 を から へ向かう媒介変数で表すと、 の点がすぐ求まる。回転でできる図形では、 における 軸からの距離が回転半径になる。 平面との交線では として半径の2乗を に等しく置く。体積は の各断面が円板になるので、断面積 を積分する。
解答
(1)
点 から点 へ向かう直線上の点は、媒介変数 を用いて と表される。この点の 座標は であるから、求める点 は である。
(2)
の位置で、直線 上の点 と 軸との距離の2乗は である。直線を 軸のまわりに回転すると、 の断面ではこの距離を半径とする円ができる。 平面との交わりでは であり、点 が図形 上にあるには を満たせばよい。したがって、求める図形の方程式は である。
(3)
における断面は、半径 の円である。したがって求める体積 は
別解。(3) は、直線 を回転してできる面を、半径が から へ直線的には変化しない回転面として見る必要がある。半径そのものではなく半径の2乗が になるため、円すい台の公式をそのまま使うと誤る。断面積積分に戻すのが最も確実である。